Teori Matematika

Matematikawan Membuktikan Versi 2D Gravitasi Kuantum Benar Berfungsi

Matematikawan Membuktikan Versi 2D Gravitasi Kuantum Benar Berfungsi, Alexander Polyakov , seorang fisikawan teoretis sekarang di Universitas Princeton, melihat sekilas masa depan teori kuantum pada tahun 1981. Berbagai misteri, mulai dari goyangan string hingga pengikatan quark menjadi proton, menuntut alat matematika baru yang siluetnya dapat ia temukan. hanya membuat keluar.

“Ada metode dan formula dalam ilmu yang berfungsi sebagai kunci utama untuk banyak masalah ternyata berbeda,” tulisnya dalam pengantar untuk surat empat halaman yang kini terkenal di Physics Letters B . “Saat ini kita harus mengembangkan seni menangani jumlah di atas permukaan acak.”

Usulan Polyakov terbukti kuat. Dalam makalahnya, dia membuat sketsa formula yang secara kasar menggambarkan bagaimana menghitung rata-rata dari jenis permukaan yang sangat kacau, “bidang Liouville.” Karyanya membawa fisikawan ke arena matematika baru, yang penting untuk membuka kunci perilaku objek teoretis yang disebut string dan membangun model gravitasi kuantum yang disederhanakan.

Menurut thebigvantheory.com Kerja keras bertahun-tahun akan membawa Polyakov ke solusi terobosan untuk teori-teori lain dalam fisika, tetapi dia tidak pernah sepenuhnya memahami matematika di balik bidang Liouville.

Namun, selama tujuh tahun terakhir, sekelompok ahli matematika telah melakukan apa yang dianggap mustahil oleh banyak peneliti. Dalam trilogi publikasi tengara, mereka telah menyusun kembali rumus Polyakov menggunakan bahasa matematika yang sepenuhnya ketat dan membuktikan bahwa bidang Liouville dengan sempurna memodelkan fenomena yang Polyakov pikirkan.

“Kami membutuhkan 40 tahun dalam matematika untuk memahami empat halaman,” kata Vincent Vargas , seorang ahli matematika di Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Prancis dan rekan penulis penelitian dengan Rémi Rhodes dari Universitas Aix-Marseille, Antti Kupiainen dari Universitas Helsinki, François David dari Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Prancis, dan Colin Guillarmou dari Universitas Paris-Saclay.

Ketiga makalah tersebut menjembatani antara dunia matematika yang murni dan realitas fisika yang berantakan — dan mereka melakukannya dengan membuka landasan baru di bidang matematika teori probabilitas. Karya ini juga menyentuh pertanyaan filosofis mengenai objek yang menjadi pusat perhatian dalam teori fisika fundamental terkemuka: medan kuantum.

“Ini adalah mahakarya dalam fisika matematika,” kata Xin Sun , seorang ahli matematika di University of Pennsylvania.

Bidang Tak Terbatas

Dalam fisika saat ini, aktor utama dalam teori yang paling sukses adalah bidang — objek yang mengisi ruang, mengambil nilai yang berbeda dari satu tempat ke tempat lain.

Dalam fisika klasik, misalnya, satu bidang memberi tahu Anda segalanya tentang bagaimana gaya mendorong benda ke sekitarnya. Ambil medan magnet Bumi: Kedutan jarum kompas mengungkapkan pengaruh medan (kekuatan dan arahnya) di setiap titik di planet ini.

Medan juga merupakan pusat fisika kuantum. Namun, situasi di sini lebih rumit karena keacakan yang mendalam dari teori kuantum. Dari perspektif kuantum, Bumi tidak menghasilkan satu medan magnet, melainkan sejumlah medan magnet yang berbeda. Beberapa terlihat hampir seperti bidang yang kita amati dalam fisika klasik, tetapi yang lain sangat berbeda.

Tetapi fisikawan masih ingin membuat prediksi — prediksi yang idealnya cocok, dalam hal ini, apa yang dibaca pendaki gunung di kompas. Mengasimilasi bentuk tak terbatas dari medan kuantum ke dalam prediksi tunggal adalah tugas berat dari “teori medan kuantum,” atau QFT. Ini adalah model bagaimana satu atau lebih medan kuantum, masing-masing dengan variasi tak terbatasnya, bertindak dan berinteraksi.

Didorong oleh dukungan eksperimental yang sangat besar, QFT telah menjadi bahasa dasar fisika partikel. The Standard Model adalah salah satu QFT tersebut, yang menggambarkan partikel dasar seperti elektron sebagai benjolan fuzzy yang muncul dari sebuah ketidakterbatasan bidang elektron. Ini telah melewati setiap tes eksperimental hingga saat ini (walaupun berbagai kelompok mungkin hampir menemukan lubang pertama).

Fisikawan bermain dengan banyak QFT yang berbeda. Beberapa, seperti Model Standar, bercita-cita untuk memodelkan partikel nyata yang bergerak melalui empat dimensi alam semesta kita (tiga dimensi spasial ditambah satu dimensi waktu). Yang lain menggambarkan partikel eksotis di alam semesta yang aneh, dari dataran datar dua dimensi hingga dunia uber enam dimensi. Hubungan mereka dengan kenyataan sangat jauh, tetapi fisikawan mempelajarinya dengan harapan mendapatkan wawasan yang dapat mereka bawa kembali ke dunia kita sendiri.

Teori medan Liouville Polyakov adalah salah satu contohnya.

Medan Gravitasi

Bidang Liouville, yang didasarkan pada persamaan dari analisis kompleks yang dikembangkan pada tahun 1800-an oleh matematikawan Prancis Joseph Liouville, menggambarkan permukaan dua dimensi yang benar-benar acak — yaitu, permukaan, seperti kerak bumi, tetapi satu di mana ketinggian setiap titik dipilih secara acak. Planet seperti itu akan meletus dengan jajaran gunung dengan puncak yang sangat tinggi, masing-masing ditetapkan dengan menggulirkan dadu dengan wajah tak terbatas.

Objek seperti itu mungkin tidak tampak seperti model yang informatif untuk fisika, tetapi keacakan bukannya tanpa pola . Kurva lonceng, misalnya, memberi tahu Anda seberapa besar kemungkinan Anda secara acak melewati pemain bola basket setinggi tujuh kaki di jalan. Demikian pula, awan bulat dan garis pantai yang berkerut mengikuti pola acak, namun tetap memungkinkan untuk melihat hubungan yang konsisten antara fitur skala besar dan skala kecilnya.

Baca Juga : Teori Matematika Baru Menghubungkan Teori Bilangan Dan Geometri

Teori Liouville dapat digunakan untuk mengidentifikasi pola dalam lanskap tak berujung dari semua kemungkinan permukaan acak dan bergerigi. Polyakov menyadari topografi yang kacau ini sangat penting untuk memodelkan string, yang menelusuri permukaan saat mereka bergerak. Teori ini juga telah diterapkan untuk menggambarkan gravitasi kuantum di dunia dua dimensi. Einstein mendefinisikan gravitasi sebagai kelengkungan ruang-waktu, tetapi menerjemahkan deskripsinya ke dalam bahasa teori medan kuantum menciptakan jumlah ruang-waktu yang tak terbatas — sama seperti Bumi menghasilkan kumpulan medan magnet yang tak terbatas. Teori Liouville mengemas semua permukaan itu menjadi satu objek. Ini memberi fisikawan alat untuk mengukur kelengkungan — dan karenanya, gravitasi — di setiap lokasi pada permukaan 2D acak.

“Gravitasi kuantum pada dasarnya berarti geometri acak, karena kuantum berarti acak dan gravitasi berarti geometri,” kata Sun.

Langkah pertama Polyakov dalam menjelajahi dunia permukaan acak adalah menuliskan ekspresi yang mendefinisikan peluang menemukan planet runcing tertentu, sama seperti kurva lonceng mendefinisikan peluang bertemu seseorang dengan ketinggian tertentu. Tetapi formulanya tidak mengarah pada prediksi numerik yang berguna.

Untuk memecahkan teori medan kuantum adalah untuk dapat menggunakan medan untuk memprediksi pengamatan. Dalam praktiknya, ini berarti menghitung “fungsi korelasi” bidang, yang menangkap perilaku bidang dengan menjelaskan sejauh mana pengukuran bidang pada satu titik berhubungan, atau berkorelasi, dengan pengukuran di titik lain. Menghitung fungsi korelasi di bidang foton, misalnya, dapat memberi Anda hukum buku teks elektromagnetisme kuantum.

Polyakov mengejar sesuatu yang lebih abstrak: esensi permukaan acak, mirip dengan hubungan statistik yang membuat awan menjadi awan atau garis pantai menjadi garis pantai. Dia membutuhkan korelasi antara ketinggian sembarangan dari bidang Liouville. Selama beberapa dekade ia mencoba dua cara berbeda untuk menghitungnya. Dia mulai dengan teknik yang disebut integral jalur Feynman dan akhirnya mengembangkan solusi yang dikenal sebagai bootstrap. Kedua metode muncul dengan cara yang berbeda, sampai para ahli matematika di balik pekerjaan baru menyatukan mereka dalam formulasi yang lebih tepat.

Tambahkan ‘Em Up

Anda mungkin membayangkan bahwa menghitung banyak sekali bentuk yang dapat diambil oleh medan kuantum hampir tidak mungkin. Dan Anda akan benar. Pada tahun 1940-an Richard Feynman, seorang perintis fisika kuantum, mengembangkan satu resep untuk menghadapi situasi yang membingungkan ini, tetapi metode ini terbukti sangat terbatas.

Ambil, sekali lagi, medan magnet bumi. Tujuan Anda adalah menggunakan teori medan kuantum untuk memprediksi apa yang akan Anda amati ketika Anda melakukan pembacaan kompas di lokasi tertentu. Untuk melakukan ini, Feynman mengusulkan untuk menjumlahkan semua bentuk bidang bersama-sama. Dia berargumen bahwa bacaan Anda akan mewakili beberapa rata-rata dari semua bentuk bidang yang mungkin. Prosedur untuk menjumlahkan konfigurasi medan tak hingga ini dengan pembobotan yang tepat dikenal sebagai integral jalur Feynman.

Sekarang kita sudah selesai. Kedua objek itu sama.

Vincent Vargas, Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Prancis

Ini adalah ide elegan yang menghasilkan jawaban konkret hanya untuk bidang kuantum tertentu. Tidak ada prosedur matematis yang diketahui yang dapat secara bermakna merata-ratakan jumlah objek yang tak terbatas yang mencakup hamparan ruang tak terbatas secara umum. Integral jalur lebih merupakan filosofi fisika daripada resep matematika yang tepat. Matematikawan mempertanyakan keberadaannya sebagai operasi yang valid dan terganggu oleh cara fisikawan mengandalkannya.

“Saya sebagai seorang matematikawan terganggu oleh sesuatu yang tidak terdefinisikan,” kata Eveliina Peltola , seorang matematikawan di Universitas Bonn di Jerman.

Fisikawan dapat memanfaatkan integral jalur Feynman untuk menghitung fungsi korelasi yang tepat hanya untuk bidang yang paling membosankan — bidang bebas, yang tidak berinteraksi dengan bidang lain atau bahkan dengan bidangnya sendiri. Jika tidak, mereka harus memalsukannya, berpura-pura ladang itu gratis dan menambahkan interaksi ringan, atau “gangguan.” Prosedur ini, yang dikenal sebagai teori gangguan, membuat mereka memiliki fungsi korelasi untuk sebagian besar bidang dalam Model Standar, karena gaya alam cukup lemah.

Tapi itu tidak berhasil untuk Polyakov. Meskipun awalnya ia berspekulasi bahwa bidang Liouville mungkin dapat menerima peretasan standar untuk menambahkan gangguan ringan, ia menemukan bahwa ia berinteraksi dengan dirinya sendiri terlalu kuat. Dibandingkan dengan bidang bebas, bidang Liouville tampaknya tidak dapat dipahami secara matematis, dan fungsi korelasinya tampaknya tidak dapat dicapai.

Naik oleh Bootstraps

Polyakov segera mulai mencari solusi. Pada tahun 1984, ia bekerja sama dengan Alexander Belavin dan Alexander Zamolodchikov untuk mengembangkan teknik yang disebut bootstrap – tangga matematika yang secara bertahap mengarah ke fungsi korelasi bidang.

Untuk mulai menaiki tangga, Anda memerlukan fungsi yang menyatakan korelasi antara pengukuran hanya pada tiga titik di lapangan. “Fungsi korelasi tiga titik” ini, ditambah beberapa informasi tambahan tentang energi yang dapat diambil oleh partikel medan, membentuk anak tangga terbawah dari tangga bootstrap.

Dari sana Anda naik satu titik pada satu waktu: Gunakan fungsi tiga titik untuk menyusun fungsi empat titik, gunakan fungsi empat titik untuk menyusun fungsi lima titik, dan seterusnya. Tetapi prosedur tersebut menghasilkan hasil yang bertentangan jika Anda memulai dengan fungsi korelasi tiga titik yang salah di anak tangga pertama.

Polyakov, Belavin dan Zamolodchikov menggunakan bootstrap untuk berhasil memecahkan berbagai teori QFT sederhana, tetapi seperti halnya integral jalur Feynman, mereka tidak dapat membuatnya bekerja untuk bidang Liouville.

Kemudian pada tahun 1990-an dua pasang fisikawan — Harald Dorn dan Hans-Jörg Otto , dan Zamolodchikov dan saudaranya Alexei — berhasil mencapai fungsi korelasi tiga titik yang memungkinkan untuk menskalakan tangga, sepenuhnya memecahkan medan Liouville (dan deskripsi sederhana gravitasi kuantum). Hasilnya, yang dikenal dengan inisialnya sebagai rumus DOZZ, memungkinkan fisikawan membuat prediksi apa pun yang melibatkan medan Liouville. Tetapi bahkan para penulis tahu bahwa mereka telah mencapainya sebagian secara kebetulan, bukan melalui matematika yang baik.

“Mereka adalah orang-orang jenius yang menebak rumus,” kata Vargas.

Tebakan terdidik berguna dalam fisika, tetapi mereka tidak memuaskan ahli matematika, yang kemudian ingin tahu dari mana rumus DOZZ berasal. Persamaan yang memecahkan bidang Liouville seharusnya berasal dari beberapa deskripsi bidang itu sendiri, bahkan jika tidak ada yang tahu cara mendapatkannya.

“Bagi saya itu seperti fiksi ilmiah,” kata Kupiainen. “Ini tidak akan pernah dibuktikan oleh siapa pun.”

Menjinakkan Permukaan Liar

Pada awal 2010-an, Vargas dan Kupiainen bergabung dengan ahli teori probabilitas Rémi Rhodes dan fisikawan François David. Tujuan mereka adalah untuk mengikat ujung longgar matematis dari bidang Liouville — untuk memformalkan integral jalur Feynman yang telah ditinggalkan Polyakov dan, mungkin saja, mengungkap rumus DOZZ.

Ketika mereka mulai, mereka menyadari bahwa seorang matematikawan Prancis bernama Jean-Pierre Kahane telah menemukan, beberapa dekade sebelumnya, apa yang akan menjadi kunci teori master Polyakov.

“Dalam beberapa hal itu benar-benar gila bahwa Liouville tidak didefinisikan sebelum kita,” kata Vargas. “Semua bahan ada di sana.”

Wawasan tersebut menghasilkan tiga makalah tonggak sejarah dalam fisika matematika yang diselesaikan antara 2014 dan 2020.

Mereka pertama kali memoles integral jalur, yang telah mengecewakan Polyakov karena medan Liouville berinteraksi kuat dengan dirinya sendiri, membuatnya tidak kompatibel dengan alat perturbatif Feynman. Jadi sebagai gantinya, para matematikawan menggunakan ide Kahane untuk menyusun kembali medan Liouville liar sebagai objek acak yang lebih ringan yang dikenal sebagai medan bebas Gaussian. Puncak di bidang bebas Gaussian tidak berfluktuasi ke ekstrem acak yang sama dengan puncak di bidang Liouville, sehingga memungkinkan para matematikawan untuk menghitung rata-rata dan ukuran statistik lainnya dengan cara yang masuk akal.

“Entah bagaimana itu semua hanya menggunakan medan bebas Gaussian,” kata Peltola. “Dari situ mereka dapat membangun segala sesuatu dalam teori.”

Pada tahun 2014, mereka meluncurkan hasilnya : versi baru dan lebih baik dari integral jalur yang telah ditulis Polyakov pada tahun 1981, tetapi sepenuhnya ditentukan dalam bidang bidang bebas Gaussian yang tepercaya. Ini adalah contoh langka di mana filosofi integral jalur Feynman telah menemukan eksekusi matematis yang solid.

“Integral jalur bisa eksis, memang ada,” kata Jörg Teschner , fisikawan di German Electron Synchrotron.

Dengan integral jalur yang ditentukan secara ketat, para peneliti kemudian mencoba untuk melihat apakah mereka dapat menggunakannya untuk mendapatkan jawaban dari bidang Liouville dan untuk mendapatkan fungsi korelasinya. Targetnya adalah formula DOZZ yang mistis — tetapi jurang pemisah antara itu dan integral jalur tampak luas.

“Kami akan menulis di koran kami, hanya untuk alasan propaganda, bahwa kami ingin memahami rumus DOZZ,” kata Kupiainen.

Tim menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk mendorong integral jalur probabilistik mereka, memastikan bahwa ia benar-benar memiliki semua fitur yang diperlukan untuk membuat bootstrap berfungsi. Saat mereka melakukannya, mereka membangun pekerjaan sebelumnya oleh Teschner. Akhirnya, Vargas, Kupiainen dan Rhodes berhasil dengan makalah yang diposting pada 2017 dan satu lagi pada Oktober 2020 , dengan Colin Guillarmou. Mereka menurunkan DOZZ dan fungsi korelasi lainnya dari integral jalur dan menunjukkan bahwa rumus ini sangat cocok dengan persamaan yang telah dicapai oleh fisikawan menggunakan bootstrap.

“Sekarang kita sudah selesai,” kata Vargas. “Kedua objek itu sama.”

Karya tersebut menjelaskan asal usul rumus DOZZ dan menghubungkan prosedur bootstrap — yang dianggap samar oleh matematikawan — dengan objek matematika yang diverifikasi. Secara keseluruhan, itu memecahkan misteri terakhir dari bidang Liouville.

“Ini entah bagaimana akhir dari sebuah era,” kata Peltola. “Tapi saya harap ini juga awal dari beberapa hal baru yang menarik.”

Harapan Baru untuk QFT

Vargas dan kolaboratornya sekarang memiliki unicorn di tangan mereka, QFT yang berinteraksi kuat dengan sempurna dijelaskan dengan cara yang tidak mengganggu dengan rumus matematika singkat yang juga membuat prediksi numerik.

Sekarang pertanyaan sejuta dolar secara harfiah adalah: Seberapa jauh metode probabilistik ini dapat berjalan? Bisakah mereka menghasilkan formula yang rapi untuk semua QFT? Vargas dengan cepat menghancurkan harapan seperti itu, bersikeras bahwa alat mereka khusus untuk lingkungan dua dimensi teori Liouville. Dalam dimensi yang lebih tinggi, bahkan medan bebas pun terlalu tidak beraturan, jadi dia meragukan metode kelompok akan mampu menangani perilaku kuantum medan gravitasi di alam semesta kita.

Baca Juga : Logika dan Filsafat Matematika

Tetapi pencetakan baru “kunci utama” Polyakov akan membuka pintu lain. Efeknya sudah dirasakan dalam teori probabilitas, di mana matematikawan sekarang dapat menggunakan rumus fisika yang sebelumnya cerdik tanpa hukuman. Didorong oleh karya Liouville, Sun dan rekan-rekannya telah mengimpor persamaan dari fisika untuk memecahkan dua masalah mengenai kurva acak.

Fisikawan juga menunggu manfaat nyata, lebih jauh lagi. Konstruksi ketat bidang Liouville dapat menginspirasi para matematikawan untuk mencoba membuktikan fitur-fitur QFT lain yang tampaknya sulit dipecahkan — bukan hanya teori gravitasi mainan tetapi juga deskripsi partikel dan gaya nyata yang secara langsung mendukung rahasia fisik terdalam dari realitas.

“Matematikawan akan melakukan hal-hal yang bahkan tidak dapat kita bayangkan,” kata Davide Gaiotto , fisikawan teoretis di Perimeter Institute.