Geometris Sangat Berhubungan Dengan Teori Martematika

Geometris Sangat Berhubungan Dengan Teori Martematika – Proyek termegah dalam matematika telah menerima hadiah langka, dalam bentuk kertas 350 halaman raksasa yang diposting pada bulan Februari yang akan mengubah cara para peneliti di seluruh dunia menyelidiki beberapa pertanyaan terdalam di bidang ini. Karya ini membentuk objek geometris baru yang memenuhi mimpi yang berani dan fantastis tentang hubungan antara geometri dan angka.

Geometris Sangat Berhubungan Dengan Teori Martematika

 

thebigvantheory.com – “Ini benar-benar membuka sejumlah besar kemungkinan. Metode dan konstruksi mereka sangat baru sehingga mereka hanya menunggu untuk dieksplorasi,” kata Tasho Kaletha dari University of Michigan.

Karya tersebut merupakan kolaborasi antara Laurent Fargues dari Institut Matematika Jussieu di Paris dan Peter Scholze dari Universitas Bonn. Ini membuka front baru dalam “program Langlands” yang telah berjalan lama, yang berupaya menghubungkan cabang matematika yang berbeda – seperti kalkulus dan geometri – untuk menjawab beberapa pertanyaan paling mendasar tentang angka.

Makalah mereka menyadari visi itu, memberi matematikawan cara berpikir yang sama sekali baru tentang pertanyaan yang telah mengilhami dan membingungkan mereka selama berabad-abad.

Di tengah karya Fargues dan Scholze adalah objek geometris yang direvitalisasi yang disebut kurva Fargues-Fontaine. Ini pertama kali dikembangkan sekitar tahun 2010 oleh Fargues dan Jean-Marc Fontaine, yang adalah seorang profesor di Universitas Paris-Sud hingga dia meninggal karena kanker pada tahun 2019. Setelah satu dekade, kurva ini baru mencapai bentuk tertingginya.

“Saat itu mereka tahu kurva Fargues-Fontaine adalah sesuatu yang menarik dan penting, tetapi mereka tidak mengerti dengan cara apa,” kata Eva Viehmann dari Technical University of Munich.

Kurva mungkin tetap terbatas pada sudut teknis matematika di mana ia ditemukan, tetapi pada tahun 2014 peristiwa yang melibatkan Fargues dan Scholze mendorongnya ke tengah lapangan. Selama tujuh tahun berikutnya mereka mengerjakan detail dasar yang diperlukan untuk menyesuaikan kurva Fargues dengan teori Scholze. Hasil akhirnya tidak begitu banyak jembatan nomor dan geometri sebagai runtuhnya tanah di antara mereka.

“Ini semacam lubang cacing di antara dua dunia yang berbeda,” kata Scholze. “Mereka benar-benar menjadi hal yang sama entah bagaimana melalui lensa yang berbeda.”

 

Program Langlands adalah visi penelitian luas yang dimulai dengan perhatian sederhana: menemukan solusi untuk persamaan polinomial seperti x 2 2 = 0 dan x 4 10 x 2 + 22 = 0. Memecahkannya berarti menemukan “akar” polinomial — nilai x yang membuat polinomial sama dengan nol ( x =±2-√ untuk contoh pertama, dan x = ±5 ±3-√——√ untuk kedua).

Pada tahun 1500-an, matematikawan telah menemukan rumus rapi untuk menghitung akar polinomial yang pangkatnya tertinggi 2, 3 atau 4. Mereka kemudian mencari cara untuk mengidentifikasi akar polinomial dengan variabel yang dipangkatkan 5 dan seterusnya. Tetapi pada tahun 1832 matematikawan muda variste Galois menemukan bahwa pencarian itu tidak membuahkan hasil, membuktikan bahwa tidak ada metode umum untuk menghitung akar polinomial berkekuatan lebih tinggi.

Galois tidak berhenti di situ. Pada bulan-bulan sebelum kematiannya dalam duel pada tahun 1832 pada usia 20, Galois menyusun teori baru solusi polinomial. Alih-alih menghitung akar dengan tepat — yang tidak dapat dilakukan dalam banyak kasus — ia mengusulkan mempelajari simetri antara akar, yang ia kodekan dalam objek matematika baru yang akhirnya disebut grup Galois.

Dalam contoh x 2 2, alih-alih membuat akarnya eksplisit, grup Galois menekankan bahwa dua akar (apa pun itu) adalah bayangan cermin satu sama lain sejauh menyangkut hukum aljabar.

“Para matematikawan harus menjauh dari rumus karena biasanya tidak ada rumus,” kata Brian Conrad dari Stanford University. “Menghitung grup Galois adalah beberapa ukuran menghitung hubungan di antara akar-akarnya.”

Sepanjang abad ke-20, matematikawan menemukan cara baru untuk mempelajari kelompok Galois. Salah satu strategi utama melibatkan pembuatan kamus yang menerjemahkan antara grup dan objek lain — sering kali fungsi berasal dari kalkulus — dan menyelidikinya sebagai proksi untuk bekerja dengan grup Galois secara langsung. Ini adalah premis dasar program Langlands, yang merupakan visi luas untuk menyelidiki kelompok Galois — dan benar-benar polinomial — melalui jenis terjemahan ini.

Program Langlands dimulai pada tahun 1967, ketika senama, Robert Langlands , menulis surat kepada seorang ahli matematika terkenal bernama André Weil. Langlands mengusulkan bahwa harus ada cara untuk mencocokkan setiap kelompok Galois dengan objek yang disebut bentuk automorfik. Sementara grup Galois muncul dalam aljabar (mencerminkan cara Anda menggunakan aljabar untuk menyelesaikan persamaan), bentuk automorfik berasal dari cabang matematika yang sangat berbeda yang disebut analisis, yang merupakan bentuk kalkulus yang disempurnakan. Kemajuan matematika dari paruh pertama abad ke-20 telah mengidentifikasi cukup banyak kesamaan antara keduanya untuk membuat Langlands mencurigai adanya hubungan yang lebih menyeluruh.

“Sungguh luar biasa bahwa benda-benda dengan sifat yang sangat berbeda ini berkomunikasi satu sama lain,” kata Ana Caraiani dari Imperial College London.

Jika matematikawan dapat membuktikan apa yang kemudian disebut korespondensi Langlands, mereka dapat dengan yakin menyelidiki semua polinomial menggunakan alat kalkulus yang kuat. Hubungan dugaan itu begitu mendasar sehingga solusinya mungkin juga menyentuh banyak masalah terbuka terbesar dalam teori bilangan, termasuk tiga dari masalah Hadiah Milenium jutaan dolar: hipotesis Riemann , dugaan BSD, dan dugaan Hodge.

Mengingat taruhannya, generasi matematikawan telah termotivasi untuk bergabung dalam upaya tersebut, mengembangkan dugaan awal Langlands menjadi apa yang hampir pasti merupakan proyek terbesar dan terluas di bidangnya saat ini.

“Program Langlands adalah jaringan dugaan yang menyentuh hampir setiap bidang matematika murni,” kata Caraiani.

Angka Dari Bentuk

Dimulai pada awal 1980-an Vladimir Drinfeld dan kemudian Alexander Beilinson mengusulkan bahwa harus ada cara untuk menafsirkan dugaan Langlands dalam istilah geometris. Penerjemahan antara angka dan geometri seringkali sulit, tetapi ketika berhasil, itu dapat memecahkan masalah terbuka lebar.

Untuk mengambil satu contoh saja, pertanyaan mendasar tentang suatu bilangan adalah apakah bilangan itu memiliki faktor prima yang berulang. Angka 12 tidak: Ini memfaktorkan menjadi 2 × 2 × 3, dengan 2 muncul dua kali. Angka 15 tidak (difaktorkan menjadi 3 × 5).

Secara umum, tidak ada cara cepat untuk mengetahui apakah suatu bilangan memiliki faktor berulang. Tapi ada masalah geometris analog yang jauh lebih mudah.

Polinomial memiliki banyak sifat yang sama dengan bilangan: Anda dapat menambah, mengurangi, mengalikan, dan membaginya. Bahkan ada gagasan tentang apa artinya polinomial menjadi “prima”. Tapi tidak seperti angka, polinomial memiliki kedok geometris yang jelas. Anda dapat membuat grafik solusi mereka dan mempelajari grafik untuk mendapatkan wawasan tentang mereka.

Misalnya, jika grafik bersinggungan dengan sumbu x di sembarang titik, Anda dapat menyimpulkan bahwa polinomial memiliki faktor berulang (ditunjukkan tepat pada titik singgung). Itu hanya salah satu contoh bagaimana pertanyaan aritmatika keruh memperoleh makna visual setelah diubah menjadi analognya untuk polinomial.

“Anda dapat membuat grafik polinomial. Anda tidak dapat membuat grafik angka. Dan ketika Anda membuat grafik [polinomial], itu memberi Anda ide, ”kata Conrad. “Dengan nomor, Anda hanya memiliki nomornya.”

Program Langlands “geometris”, demikian sebutannya, bertujuan untuk menemukan objek geometris dengan sifat yang dapat menggantikan kelompok Galois dan bentuk automorfik dalam dugaan Langlands. Membuktikan korespondensi analog dalam pengaturan baru ini dengan menggunakan alat-alat geometris dapat memberikan matematikawan lebih percaya diri dalam dugaan Langlands asli dan mungkin menyarankan cara berpikir yang berguna tentang mereka. Itu adalah visi yang bagus, tetapi juga agak lapang — agak seperti mengatakan Anda bisa melintasi alam semesta jika Anda hanya memiliki mesin waktu.

“Membuat objek geometris yang memiliki peran serupa dalam pengaturan angka adalah hal yang jauh lebih sulit untuk dilakukan,” kata Conrad.

Jadi selama beberapa dekade program geometris Langlands tetap jauh dari yang asli. Keduanya digerakkan oleh tujuan yang sama, tetapi mereka melibatkan objek yang sangat berbeda sehingga tidak ada cara nyata untuk membuat mereka berbicara satu sama lain.

“Orang-orang aritmatika tampak bingung dengan [program geometris Langlands]. Mereka mengatakan itu baik dan bagus, tetapi sama sekali tidak terkait dengan keprihatinan kami, ”kata Kaletha.

Karya baru dari Scholze dan Fargues, bagaimanapun, akhirnya memenuhi harapan yang disematkan pada program geometris Langlands — dengan menemukan bentuk pertama yang sifat-sifatnya berkomunikasi langsung dengan perhatian asli Langlands.

Baca Juga : Sains di Balik Perubahan Iklim Sedang Dikecam

 

Scholze’s Tour de Force

Pada September 2014, Scholze mengajar mata kuliah khusus di University of California, Berkeley. Meski baru berusia 26 tahun, ia sudah menjadi legenda di dunia matematika. Dua tahun sebelumnya dia telah menyelesaikan disertasinya, di mana dia mengartikulasikan teori geometris baru berdasarkan objek yang dia temukan yang disebut ruang perfectoid. Dia kemudian menggunakan kerangka kerja ini untuk memecahkan bagian dari masalah dalam teori bilangan yang disebut dugaan monodrom berat.

Tetapi yang lebih penting daripada hasil tertentu adalah rasa kemungkinan yang mengelilinginya — tidak ada yang tahu berapa banyak pertanyaan lain dalam matematika yang mungkin dihasilkan untuk perspektif baru yang tajam ini.

Topik kursus Scholze adalah versi yang lebih luas dari teorinya tentang ruang perfectoid. Matematikawan memenuhi kursi di ruang seminar kecil, berbaris di sepanjang dinding dan tumpah ke lorong untuk mendengarkan dia berbicara.

“Semua orang ingin berada di sana karena kami tahu ini adalah hal yang revolusioner,” kata David Ben-Zvi dari University of Texas, Austin.

Teori Scholze didasarkan pada sistem bilangan khusus yang disebut p- adics . Huruf “p” dalam p -adic berarti “prima”, seperti pada bilangan prima. Untuk setiap bilangan prima, ada sistem bilangan p -adik yang unik : 2-adik, 3-adik, 5-adik, dan seterusnya. Angka P- adik telah menjadi alat utama dalam matematika selama lebih dari satu abad. Mereka berguna sebagai sistem bilangan yang lebih mudah dikelola untuk menyelidiki pertanyaan yang muncul kembali dalam bilangan rasional (bilangan yang dapat ditulis sebagai rasio bilangan bulat positif atau negatif), yang sulit untuk dibandingkan.

Keutamaan bilangan p -adic adalah bahwa mereka masing-masing didasarkan hanya pada satu bilangan prima tunggal. Ini membuat mereka lebih lugas, dengan struktur yang lebih jelas, daripada rasional, yang memiliki bilangan prima tak terhingga tanpa pola yang jelas di antara mereka. Matematikawan sering mencoba untuk memahami pertanyaan dasar tentang angka di p- adics terlebih dahulu, dan kemudian mengambil pelajaran itu kembali ke penyelidikan rasional mereka.

“ Bilangan p- adik adalah jendela kecil menuju bilangan rasional,” kata Kaletha.

Semua sistem bilangan memiliki bentuk geometris — bilangan real, misalnya, berbentuk garis. Ruang perfectoid Scholze memberikan bentuk geometris baru dan lebih berguna untuk bilangan p -adik. Geometri yang disempurnakan ini membuat p -adics, seperti yang terlihat melalui ruang perfectoidnya, cara yang lebih efektif untuk menyelidiki fenomena teori bilangan dasar, seperti pertanyaan tentang solusi persamaan polinomial.

“Dia membayangkan kembali dunia p- adik dan membuatnya menjadi geometri,” kata Ben-Zvi. “Karena mereka sangat mendasar, ini mengarah pada banyak dan banyak kesuksesan.”

Dalam kursus Berkeley-nya, Scholze mempresentasikan versi yang lebih umum dari teorinya tentang ruang perfectoid, yang dibangun di atas objek yang bahkan lebih baru yang dia ciptakan yang disebut berlian. Teori tersebut berjanji untuk lebih memperbesar penggunaan bilangan p -adik. Namun pada saat Scholze mulai mengajar, dia bahkan belum menyelesaikannya.

“Dia memberikan kursus saat dia mengembangkan teori. Dia datang dengan ide-ide di malam hari dan menyajikannya segar dari pikirannya di pagi hari, ”kata Kaletha.

Itu adalah pertunjukan yang luar biasa, dan salah satu orang di ruangan yang mendengarnya adalah Laurent Fargues.