Teori Matematika

Masalah Geometri Kuno Jatuh ke Teknik Matematika Baru

Masalah Geometri Kuno Jatuh ke Teknik Matematika Baru – Sekitar 450 SM, Anaxagoras dari Clazomenae punya waktu untuk berpikir. Matematikawan Yunani itu dipenjara karena mengklaim matahari bukanlah dewa, melainkan batu pijar sebesar semenanjung Peloponnese. Seorang filsuf yang percaya bahwa “akal menguasai dunia,” ia menggunakan penahanannya untuk bergulat dengan masalah matematika yang sekarang terkenal yang dikenal sebagai mengkuadratkan lingkaran. Menggunakan kompas dan penggaris, dapatkah Anda menghasilkan persegi dengan luas yang sama untuk lingkaran tertentu?

Masalah Geometri Kuno Jatuh ke Teknik Matematika Baru

thebigvantheory – Anehnya, matematikawan masih mengerjakan pertanyaan ini. Dan mereka membuat kemajuan. Sebuah makalah yang diposting online minggu lalu oleh Andras Máthé dan Oleg Pikhurko dari Universitas Warwick dan Jonathan Noel dari Universitas Victoria adalah yang terbaru untuk bergabung dalam tradisi kuno ini. Penulis menunjukkan bagaimana sebuah lingkaran dapat dikuadratkan dengan memotongnya menjadi potongan-potongan yang dapat divisualisasikan dan mungkin digambar. Ini adalah hasil yang dibangun di atas sejarah yang kaya.

Pertanyaan persis yang diajukan oleh Anaxagoras dijawab pada tahun 1882, ketika matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa mengkuadratkan lingkaran tidak mungkin dilakukan dengan alat klasik. Dia menunjukkan bahwa pi luas lingkaran dengan jari-jari 1 adalah jenis bilangan khusus yang diklasifikasikan sebagai transendental (kategori yang juga mencakup bilangan Euler, e). Karena hasil sebelumnya telah menunjukkan bahwa tidak mungkin menggunakan kompas dan penggaris untuk membangun panjang yang sama dengan angka transendental, juga tidak mungkin untuk mengkuadratkan lingkaran dengan cara itu.

Itu mungkin akhir dari cerita, tetapi pada tahun 1925 Alfred Tarski menghidupkan kembali masalah dengan mengutak-atik aturan. Dia bertanya apakah seseorang dapat menyelesaikan tugas dengan memotong lingkaran menjadi sejumlah potongan terbatas yang dapat dipindahkan dalam bidang dan disusun kembali menjadi persegi dengan luas yang sama pendekatan yang dikenal sebagai equidecomposition.

Dengan kata lain, dua objek dapat didekomposisikan sama jika mereka dapat dipecah menjadi potongan-potongan dengan ukuran dan bentuk yang identik, atau, lebih tepatnya, “jika Anda dapat membaginya menjadi banyak bagian hingga bagian-bagian yang sesuai kongruen satu sama lain,” Pikhurko dikatakan.

Sebuah makalah tahun 1964 adalah yang pertama membuat kemajuan besar pada versi masalah Tarski. Penulis menunjukkan bahwa equidecomposition tidak dapat dilakukan dengan gunting. Tugas itu, jika memungkinkan, akan membutuhkan potongan fraktal yang lebih rumit, penuh lubang dan tepi bergerigi yang rumit. Di situlah keadaan berdiri sampai tahun 1990, ketika Miklós Laczkovich menjawab pertanyaan Tarski dengan tegas ya: Sebuah lingkaran dapat dikonfigurasi ulang menjadi persegi.

Untuk memvisualisasikan pencapaian Laczkovich, bayangkan sebuah lingkaran dan persegi berdampingan pada sebuah halaman. Dia mendemonstrasikan bahwa jika lingkaran dipartisi menjadi paling banyak 10 50 bagian, semuanya rumit dan dengan bentuk yang tidak biasa, potongan-potongan itu dapat dipindahkan bahkan tanpa diputar sampai benar-benar mengisi persegi.

Tetapi untuk sampai pada hasil ini, Laczkovich tidak bekerja dengan bentuk. Sebaliknya, ia mengubah masalah geometri menjadi masalah teori graf. Dia mengambil grafik besar dengan dua set simpul yang terpisah satu sesuai dengan lingkaran, yang lain ke persegi dan kemudian membuat korespondensi satu-ke-satu antara simpul dalam satu set dan yang lain.

Baca juga : Ilmuwan Komputer Menemukan Batasan Algoritma Penelitian Utama

Stan Wagon, seorang ahli matematika di Macalester College, menggambarkan hasilnya sebagai “menjatuhkan rahang.” Laczkovich menunjukkan bagaimana “mengambil ruang melingkar dan membuatnya lurus.”

Ada menangkap, namun. Bukti Laczkovich adalah bukti keberadaan, yang oleh ahli matematika disebut “nonkonstruktif.” Dia membuktikan bahwa itu bisa dilakukan, tetapi dia tidak bisa mengatakan bagaimana membuat potongan-potongan itu, dia juga tidak bisa menggambarkannya dengan cara apa pun. Lebih buruk lagi, potongan-potongan itu “tidak terukur”, yang berarti tidak mungkin untuk menentukan luasnya.

Langkah besar berikutnya datang beberapa dekade kemudian dalam sebuah makalah yang diposting pada Januari 2016 oleh ukasz Grabowski, Máthé dan Pikhurko. Bukti mereka, tidak seperti Laczkovich, hampir sepenuhnya konstruktif, yang berarti sebagian besar bagiannya terdefinisi dengan baik. Tapi sekali lagi ada tangkapan: Potongan-potongan yang terdefinisi dengan baik dari lingkaran itu tidak memenuhi seluruh kotak. Potongan tambahan masih diperlukan untuk menutupi sebagian kecil alun-alun. Bagian ini sangat kecil sehingga tidak memiliki luas, dan para ahli matematika menyebutnya sebagai “satuan ukuran nol”.

“Hampir semua ruang telah diurus,” kata Andrew Marks, ahli matematika di University of California, Los Angeles. Anda bahkan tidak dapat menggambar bagian yang hilang, katanya, karena set tersebut akan terlihat tidak terlihat. Terlepas dari potongan ekstra yang diperlukan ini, hasilnya adalah langkah maju yang dramatis, kata Marks. “Mereka menemukan cara untuk mengkuadratkan lingkaran yang bekerja hampir di mana-mana di mana-mana kecuali untuk satu set ukuran nol.”

Marks, bersama dengan Spencer Unger, sekarang di University of Toronto, membuat peningkatan besar setahun kemudian, memberikan bukti pertama yang sepenuhnya konstruktif tentang kuadrat lingkaran yang bekerja di mana-mana, tanpa kecuali. Makalah mereka menawarkan deskripsi lengkap tentang semua bagian yang diperlukan untuk membuat lingkaran. “Potongan mereka lebih baik,” kata Máthé. “Mereka tidak memiliki area nol yang jelek ini.”
Konon, bukti mereka melibatkan lebih banyak potongan sekitar 10.200 dan potongan-potongan ini masih cukup rumit. “Kelemahan dalam makalah kami,” kata Marks, “adalah bahwa meskipun potongan-potongan itu didefinisikan secara eksplisit dari sudut pandang matematika, sangat sulit untuk memvisualisasikannya.”

Itu menyisakan ruang untuk perbaikan, yang telah disampaikan oleh Máthé, Noel, dan Pikhurko. Potongan-potongan mereka, sekali lagi berjumlah sekitar 10 200, bentuknya lebih sederhana dan lebih mudah untuk divisualisasikan oleh matematikawan. “Lompatan besar di sini adalah Anda tidak bisa menggambar Spencer dan bidak saya dengan cara yang mudah Anda lihat, tetapi dengan bidak ini Anda bisa,” kata Marks. Tapi itu bukan akhir dari cerita. “Masih banyak matematika yang harus dilakukan” dengan masalah ini, kata Alexander Kechris, seorang ahli matematika di California Institute of Technology. “Ini sebuah proses.”

Pikhurko sudah memiliki ide untuk lebih menyederhanakan potongan, mengurangi jumlah totalnya dan membuatnya tidak terlalu merata. Dan Marks telah melakukan eksperimen komputer yang menyarankan tetapi tidak membuktikan bahwa equidecomposition dapat dicapai dengan 22 buah. Dia percaya jumlah minimum kemungkinan bahkan lebih rendah. “Saya berani bertaruh bir yang Anda dapat persegi lingkaran, terbukti, dengan kurang dari 20 buah,” katanya. “Tapi saya tidak akan bertaruh $ 1.000.”