Rumus Matematika

Matematikawan Telah Memperluas Teori Kategori Ke Dalam Dimensi Tak Terbatas

Matematikawan Telah Memperluas Teori Kategori Ke Dalam Dimensi Tak Terbatas, Garis lurus dapat digunakan untuk memperpanjang segmen garis ke segala arah, dan kompas dapat digunakan untuk menggambar lingkaran dengan radius apa pun dari pusat yang dipilih. Tangkapan untuk teka-teki khusus ini adalah bahwa setiap titik atau panjang yang muncul dalam gambar akhir harus ada di awal atau dapat dibangun dari informasi yang diberikan sebelumnya.

Untuk menggandakan volume kubus, Anda mulai dengan panjang sisinya. Di sini nilai itu mungkin juga 1 karena itu adalah satu-satunya unit pengukuran yang diberikan. Untuk membangun kubus yang lebih besar, Anda harus mencari cara untuk menggambar salah satu sisinya dengan panjang baru yang dibutuhkan, yaitu 2 (akar pangkat dua dari dua), hanya dengan menggunakan penggaris dan kompas sebagai alat.

Ini adalah masalah yang sulit. Selama lebih dari 2.000 tahun tidak ada yang berhasil menyelesaikannya. Akhirnya, pada tahun 1837, Pierre Laurent Wantzel menjelaskan mengapa tidak ada yang berhasil dengan membuktikan bahwa itu tidak mungkin. Buktinya menggunakan matematika mutakhir pada waktu itu, yang fondasinya diletakkan oleh kontemporer Prancis Évariste Galois, yang meninggal pada usia 20 dalam duel yang mungkin melibatkan hubungan cinta yang tidak bahagia. Pada usia 20 tahun yang matang, saya telah mencapai prestasi matematika yang kurang mengesankan, tetapi saya setidaknya memahami bukti Wantzel.

Inilah idenya: Mengingat titik sebagai titik asal dan panjang jarak 1, relatif mudah menggunakan penggaris dan kompas untuk membangun semua titik pada garis bilangan yang koordinatnya adalah bilangan rasional (mengabaikan, seperti yang cenderung dilakukan oleh matematikawan, ketidakmungkinan untuk benar-benar merencanakan banyak titik hanya dalam waktu yang terbatas).

Wantzel menunjukkan bahwa jika seseorang hanya menggunakan alat-alat ini, setiap titik yang baru dibangun harus menjadi solusi untuk persamaan polinomial kuadrat ax 2 + bx + c = 0 yang koefisien a , b dan c adalah di antara titik-titik yang dibangun sebelumnya. Sebaliknya, titik 2 adalah solusi untuk polinomial kubik x 3 2 = 0, dan teori Galois tentang “perluasan medan” membuktikan dengan pasti bahwa Anda tidak akan pernah bisa mendapatkan solusi untuk polinomial kubik tak tereduksi dengan menyelesaikan persamaan kuadrat, pada dasarnya karena tidak ada kekuatan 2 yang membagi angka 3 secara merata.

Berbekal fakta-fakta ini, thebigvantheory  tidak dapat menahan diri untuk tidak terlibat dengan pria di jalan. Bisa ditebak, upaya saya untuk menjelaskan bagaimana saya tahu masalahnya tidak dapat diselesaikan tidak benar-benar berhasil. Sebaliknya, dia mengklaim bahwa pendidikan saya telah membuat saya berpikiran tertutup dan tidak dapat “berpikir di luar kotak.” Akhirnya pacar saya berhasil melepaskan saya dari pertengkaran, dan kami melanjutkan perjalanan.

Tapi tetap ada pertanyaan menarik: Bagaimana saya, seorang sarjana yang masih basah-basahan di tahun ketiga studi universitas saya, dapat belajar memanipulasi sistem bilangan abstrak dengan nyaman seperti bidang Galois hanya dalam beberapa minggu? Materi ini datang di akhir kursus yang diisi dengan kelompok simetri, cincin polinomial, dan harta karun terkait yang akan mengejutkan para raksasa matematika seperti Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler, dan Carl Friedrich Gauss. Bagaimana para ahli matematika dapat dengan cepat mengajarkan setiap generasi baru dari penemuan-penemuan sarjana yang mengejutkan para ahli generasi sebelumnya?

Sebagian dari jawabannya berkaitan dengan perkembangan terakhir dalam matematika yang memberikan “pandangan luas” dari bidang ini melalui tingkat abstraksi yang semakin meningkat. Teori kategori adalah cabang matematika yang menjelaskan bagaimana objek matematika yang berbeda dapat dianggap “sama”. Teorema fundamentalnya memberi tahu kita bahwa objek matematika apa pun, betapapun kompleksnya, sepenuhnya ditentukan oleh hubungannya dengan objek serupa. Melalui teori kategori, kami mengajari matematikawan muda ide-ide terbaru dengan menggunakan aturan umum yang berlaku secara luas untuk kategori di seluruh matematika daripada menelusuri hukum individu yang hanya berlaku di satu area.

Ketika matematika terus berkembang, perasaan matematikawan tentang dua hal yang “sama” telah berkembang. Dalam beberapa dekade terakhir, banyak peneliti lain dan saya telah mengerjakan perluasan teori kategori untuk memahami gagasan baru yang diperluas tentang keunikan ini. Kategori baru ini, yang disebut kategori tak terhingga (-kategori), memperluas teori kategori ke dimensi tak terbatas. Bahasa -kategori memberikan matematikawan alat yang kuat untuk mempelajari masalah di mana hubungan antara objek terlalu bernuansa untuk didefinisikan dalam kategori tradisional. Perspektif “memperkecil hingga tak terhingga” menawarkan cara baru untuk berpikir tentang konsep lama dan jalan menuju penemuan yang baru.

KATEGORI

Seperti banyak matematikawan lain yang saya kenal, saya tertarik pada subjek ini sebagian karena ingatan saya yang buruk. Ini membingungkan banyak orang yang mengingat matematika sekolah menengah penuh dengan rumus untuk dihafal—identitas trigonometri muncul di benak. Tetapi saya merasa nyaman dengan kenyataan bahwa rumus yang paling umum digunakan dapat diturunkan dari sin 2 + cos 2 = 1, yang dengan sendirinya memiliki penjelasan geometris yang elegan: ini adalah penerapan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku dengan sisi miring panjang 1 dan sudut lancip derajat.

Visi matematika utopis di mana segala sesuatu hanya “masuk akal” dan tidak ada yang perlu dihafalkan berantakan sampai batas tertentu di tingkat universitas. Pada saat itu siswa mengenal kebun binatang objek matematika yang telah disulap menjadi ada dalam beberapa abad terakhir. “Kelompok,” “cincin” dan “bidang” termasuk dalam bidang matematika yang dikenal sebagai aljabar, sebuah kata yang berasal dari buku abad kesembilan oleh ahli matematika dan astronom Persia Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi, yang judulnya kadang-kadang diterjemahkan sebagai Ilmu Memulihkan dan Menyeimbangkan. Selama milenium berikutnya, aljabar berkembang dari studi tentang sifat solusi ke persamaan polinomial ke studi sistem bilangan abstrak. Karena tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan x 2+ 1 = 0, matematikawan membangun sistem bilangan baru—sekarang dikenal sebagai bilangan kompleks—dengan menambahkan bilangan imajiner i dan menerapkan ketentuan bahwa i 2 + 1= 0.

Baca Juga : Teori Matematika Baru Menghubungkan Teori Bilangan Dan Geometri

Aljabar hanyalah salah satu mata pelajaran dalam kurikulum sarjana matematika. Landasan lainnya termasuk topologi—studi abstrak ruang—dan analisis, yang dimulai dengan perlakuan ketat terhadap kalkulus fungsi nyata sebelum bercabang ke medan ruang probabilitas dan variabel acak yang lebih eksotik serta manifold kompleks dan fungsi holomorfik. Bagaimana seharusnya seorang siswa memahami itu semua?

Sebuah ide paradoks dalam matematika adalah bahwa penyederhanaan melalui abstraksi. Seperti yang dikatakan Eugenia Cheng dalam The Art of Logic in an Illogical World, “aspek abstraksi yang kuat adalah bahwa banyak situasi berbeda menjadi sama ketika Anda melupakan beberapa detail.” Aljabar modern diciptakan pada awal abad ke-20 ketika matematikawan memutuskan untuk menyatukan studi mereka tentang banyak contoh struktur aljabar yang muncul dalam pertimbangan solusi untuk persamaan polinomial atau konfigurasi angka di pesawat. Untuk menghubungkan penyelidikan struktur ini, peneliti mengidentifikasi “aksioma” yang menggambarkan sifat umum mereka. Grup, cincin dan bidang diperkenalkan ke alam semesta matematika, bersama dengan gagasan bahwa objek matematika dapat dijelaskan dalam hal properti yang dimilikinya dan dieksplorasi “secara abstrak,” terlepas dari perancah contoh atau konstruksi tertentu.

John Horton Conway terkenal merenungkan ontologi aneh hal-hal matematika: “Tidak ada keraguan bahwa mereka memang ada tetapi Anda tidak dapat menyodok dan mendorong mereka kecuali dengan memikirkannya. Ini cukup mencengangkan dan saya masih tidak mengerti, meskipun telah menjadi ahli matematika sepanjang hidup saya. Bagaimana hal-hal bisa ada di sana tanpa benar-benar berada di sana? ”

Tapi dunia objek matematika yang bisa eksis tanpa benar-benar ada menciptakan masalah: Dunia seperti itu terlalu besar untuk dipahami oleh siapa pun. Bahkan dalam aljabar, ada terlalu banyak hal matematika untuk dipelajari sehingga tidak ada waktu untuk memahami semuanya. Sekitar pergantian abad ke-20, matematikawan mulai menyelidiki apa yang disebut aljabar universal, mengacu pada “set”, yang bisa menjadi kumpulan simetri, angka dalam beberapa sistem atau sesuatu yang lain seluruhnya, bersama-sama dengan berbagai operasi-misalnya , penjumlahan dan perkalian—memenuhi daftar aksioma yang relevan seperti asosiatif, komutatif, atau distribusi. Dengan membuat pilihan yang berbeda—Apakah operasi didefinisikan sebagian atau seluruhnya? Apakah dapat dibalik?—seseorang sampai pada struktur aljabar standar: grup, ring, dan field.

Menjamurnya objek-objek matematis abstrak baru membawa kompleksitas tersendiri. Salah satu cara untuk menyederhanakan adalah dengan memperkenalkan tingkat abstraksi lebih lanjut di mana, secara mengejutkan, kita dapat membuktikan teorema tentang berbagai macam objek matematika secara bersamaan tanpa menentukan dengan tepat jenis objek apa yang sedang kita bicarakan.

Teori kategori, yang diciptakan pada 1940-an oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane, melakukan hal ini. Meskipun awalnya diperkenalkan untuk memberikan definisi yang ketat dari istilah sehari-hari “kesetaraan alami,” juga menawarkan cara untuk berpikir secara universal tentang aljabar universal dan bidang matematika lainnya juga. Dengan bahasa Eilenberg dan Mac Lane, kita sekarang dapat memahami bahwa setiap variasi objek matematika termasuk dalam kategorinya sendiri ,yang merupakan kumpulan objek tertentu bersama-sama dengan satu set transformasi digambarkan sebagai panah antara objek. Misalnya, dalam aljabar linier seseorang mempelajari ruang vektor abstrak seperti ruang Euclidean tiga dimensi. Transformasi yang sesuai dalam kasus ini disebut transformasi linier, dan masing-masing harus memiliki sumber dan ruang vektor target yang ditentukan yang menunjukkan jenis vektor mana yang muncul sebagai input dan output. Seperti halnya fungsi, transformasi dalam suatu kategori dapat “dikomposisikan”, artinya Anda dapat menerapkan satu transformasi ke hasil transformasi lainnya. Untuk sembarang pasangan transformasi f: A → B (dibaca sebagai “ f adalah transformasi dari A ke B ”) dan g: B →C, kategori menentukan transformasi komposit yang unik, ditulis sebagai g ∘ f: A → C (dibaca sebagai “ g terdiri f adalah transformasi dari A ke C ”). Akhirnya, hukum komposisi ini adalah asosiatif, yang berarti h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f . Ini juga unital: setiap objek B memiliki “transformasi identitas” yang biasanya dilambangkan dengan 1 B dengan properti bahwa g 1 B = g dan 1 B∘ f = f untuk setiap transformasi g dan f yang sumber dan target, masing-masing, sama B.

Bagaimana kategori membantu sarjana yang malang dihadapkan dengan terlalu banyak objek matematika dan tidak cukup waktu untuk mempelajari semuanya? Setiap kelas struktur yang dapat Anda definisikan dalam aljabar universal mungkin berbeda dari semua yang lain, tetapi kategori yang ditempati objek-objek ini sangat mirip dalam cara yang dapat diekspresikan secara tepat melalui bahasa kategoris.

Dengan pengalaman yang cukup, matematikawan dapat mengetahui apa yang diharapkan ketika mereka menemukan jenis struktur aljabar baru. Gagasan ini tercermin dalam buku-buku teks modern tentang subjek yang mengembangkan teori-teori grup, cincin dan ruang vektor secara seri, pada dasarnya karena teori-teori itu paralel. Ada analogi lain yang lebih longgar di antara kategori-kategori ini dan yang ditemui siswa dalam kursus topologi atau analisis, dan kesamaan ini memungkinkan mereka menyerap materi baru lebih cepat. Pola seperti itu memungkinkan siswa untuk menghabiskan lebih banyak waktu menjelajahi topik khusus yang membedakan subdisiplin matematika individu—walaupun kemajuan penelitian dalam matematika sering kali terinspirasi oleh analogi baru dan mengejutkan antara area yang sebelumnya tidak terhubung.

KATEGORI DIMENSI TAK TERBATAS

Kisah yang sering diceritakan tentang asal usul teorema dasar teori kategori adalah bahwa seorang matematikawan muda bernama Nobuo Yoneda menggambarkan sebuah “lemma,” atau teorema pembantu, ke Mac Lane di stasiun kereta Gare du Nord di Paris pada tahun 1954. Yoneda memulai menjelaskan lemma di peron dan melanjutkannya di kereta sebelum meninggalkan stasiun. Konsekuensi dari lemma ini adalah bahwa objek apa pun dalam kategori apa pun sepenuhnya ditentukan oleh hubungannya dengan objek lain dalam kategori yang dikodekan oleh transformasi ke atau dari objek ini. Jadi kita dapat mengkarakterisasi ruang topologi X dengan menyelidikinya dengan fungsi kontinu f: T → X memetakan ruang lain T. Misalnya, titik-titik ruang Xsesuai dengan fungsi kontinu x: * → X, yang domainnya adalah ruang dengan satu titik. Kita dapat menjawab pertanyaan apakah ruang X terhubung atau terputus dengan mempertimbangkan pemetaan p: I → X, yang domainnya adalah interval I = [0,1]. Setiap pemetaan tersebut mendefinisikan “jalur” berparameter dalam ruang X dari titik p (0) ke titik p (1), yang dapat dianggap sebagai lintasan yang mungkin diambil semut saat berjalan di sekitar ruang X.

Kita dapat menggunakan titik dan jalur ruang untuk menerjemahkan masalah topologi menjadi masalah aljabar: setiap ruang topologi X memiliki kategori terkait 1 X disebut “groupoid fundamental” dari X. Objek dari kategori ini adalah titik-titik dari ruang, dan transformasi adalah jalur. Jika satu jalur dapat dideformasi menjadi jalur lain dalam ruang sementara titik ujungnya tetap, kedua jalur tersebut mendefinisikan transformasi yang sama. Deformasi ini, yang secara teknis disebut homotopies , diperlukan untuk komposisi jalur untuk menentukan operasi asosiatif, seperti yang disyaratkan oleh kategori.

Keuntungan utama dari pembangunan groupoid mendasar adalah bahwa itu adalah “functorial,” yang berarti bahwa fungsi kontinu f: X → Y antara ruang topologi menimbulkan transformasi yang sesuai π f: π X → π Y antara groupoids mendasar . Ini komposisi dan identitas hal tugas, berarti π 1 ( g ∘ f ) = π g ∘π f dan π 1 (1 X ) = 1 π1 X, masing-masing. Kedua properti ini, yang secara kolektif disebut “fungsionalitas”, menunjukkan bahwa grup fundamental menangkap beberapa informasi penting tentang ruang topologi. Khususnya, jika dua ruang tidak ekuivalen homotopi, maka groupoid fundamentalnya tentu ekuivalen.

Namun, groupoid fundamental bukanlah invarian lengkap. Itu dapat dengan mudah membedakan antara lingkaran dan cakram padat yang membatasi lingkaran. Dalam groupoid dasar lingkaran, versi goyangan yang berbeda dari jalur antara dua titik dapat diberi label oleh bilangan bulat yang mencatat berapa kali lintasan berputar di sekitar lingkaran dan tanda + atau yang menunjukkan, masing-masing, arah searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. transit. Sebaliknya, dalam groupoid dasar disk, hanya ada satu jalur hingga homotopi antara pasangan titik mana pun. Grupoid dasar ruang yang dibentuk oleh bagian luar bola pantai yang dapat ditiup, bola dalam istilah topologi, juga memiliki deskripsi ini: ada jalur unik hingga homotopi antara dua titik mana pun.

Masalah besar dengan groupoid fundamental adalah bahwa titik dan jalur tidak mendeteksi struktur dimensi ruang yang lebih tinggi, karena titik dan interval itu sendiri adalah nol dan satu dimensi, masing-masing. Solusinya adalah juga mempertimbangkan fungsi kontinu dari piringan dua dimensi, yang disebut homotopi, dan “homotopi yang lebih tinggi”, yang didefinisikan oleh fungsi kontinu dari bola padat tiga dimensi dan juga untuk bola lain dalam dimensi 4, 5, 6 atau lebih.

Baca Juga : Filsafat dan Sejarah Matematika

Itu wajar untuk bertanya apa jenis aljabar struktur poin, jalur, homotopies dan homotopies lebih tinggi dalam bentuk ruang X: struktur ini π ∞ X ( “pi tak terhingga X ”), disebut sebagai fundamental ∞-groupoid dari X, mendefinisikan contoh kategori , analog dimensi tak terbatas dari kategori yang pertama kali diperkenalkan oleh Eilenberg dan Mac Lane. Seperti kategori biasa, kategori- memiliki objek dan transformasi yang divisualisasikan sebagai panah satu dimensi, tetapi juga berisi “transformasi yang lebih tinggi” yang digambarkan oleh panah dua dimensi, panah tiga dimensi, dan seterusnya.

Misalnya, dalam π ∞ Xobjek dan panah adalah titik dan jalur—tidak lagi dianggap bergoyang—sementara transformasi dimensi yang lebih tinggi mengkodekan homotop yang lebih tinggi. Seperti di kategori biasa, panah dalam dimensi tetap dapat terdiri: jika Anda memiliki dua panah f: X → Y dan g: Y → Z, ada juga harus panah g ∘ f: X → Z. Tapi ada tangkapan: dalam upaya untuk menangkap contoh-contoh alami seperti grupoid dasar dari suatu ruang, hukum komposisi harus dilemahkan. Untuk setiap pasangan panah yang dapat dikomposisi, harus ada panah komposit, tetapi tidak ada lagi panah komposit khusus yang ditentukan.

Kegagalan keunikan ini membuatnya menantang untuk mendefinisikan -kategori dalam dasar matematika berbasis himpunan klasik karena kita tidak dapat lagi memikirkan komposisi sebagai operasi yang menyerupai operasi yang muncul dalam aljabar universal. Meskipun -kategori semakin penting untuk penelitian modern di banyak bidang matematika, dari teori medan kuantum hingga geometri aljabar hingga topologi aljabar, mereka sering dianggap “terlalu sulit” untuk semua kecuali spesialis dan tidak ditampilkan secara teratur dalam kurikulum, bahkan di tingkat pascasarjana. Namun demikian, banyak orang lain dan saya melihat -kategori sebagai arah baru yang revolusioner yang dapat memungkinkan matematikawan untuk memimpikan koneksi baru yang tidak mungkin untuk dinyatakan dan dibuktikan secara ketat.