Rumus Matematika

Misteri Inti Fisika yang Hanya Dapat Dipecahkan oleh Matematika

Misteri Inti Fisika yang Hanya Dapat Dipecahkan oleh Matematika, Selama abad yang lalu, teori medan kuantum telah terbukti menjadi satu-satunya teori fisika yang paling berhasil dan berhasil yang pernah ditemukan. Ini adalah istilah umum yang mencakup banyak teori medan kuantum spesifik — cara “bentuk” mencakup contoh spesifik seperti persegi dan lingkaran. Yang paling menonjol dari teori-teori ini dikenal sebagai Model Standar, dan kerangka fisika inilah yang telah begitu sukses.

“Ini dapat menjelaskan pada tingkat fundamental secara harfiah setiap eksperimen yang pernah kami lakukan,” kata David Tong , seorang fisikawan di University of Cambridge.

Tetapi teori medan kuantum, atau QFT, tidak dapat disangkal tidak lengkap. Baik fisikawan maupun matematikawan tidak tahu persis apa yang membuat teori medan kuantum menjadi teori medan kuantum. Mereka memiliki sekilas gambaran lengkap, tetapi mereka belum bisa melihatnya.

“Ada berbagai indikasi bahwa mungkin ada cara berpikir yang lebih baik tentang QFT,” kata Nathan Seiberg , fisikawan di Institute for Advanced Study. “Rasanya seperti binatang yang bisa Anda sentuh dari banyak tempat, tetapi Anda tidak bisa melihat keseluruhan binatang itu.”

Matematika, yang membutuhkan konsistensi internal dan perhatian pada setiap detail terakhir, adalah bahasa yang mungkin membuat QFT menjadi utuh. Jika matematika dapat belajar bagaimana menggambarkan QFT dengan ketelitian yang sama dengan yang mencirikan objek matematika mapan, gambaran yang lebih lengkap dari dunia fisik kemungkinan akan datang untuk perjalanan.

“Jika Anda benar-benar memahami teori medan kuantum dengan cara matematis yang tepat, ini akan memberi kita jawaban atas banyak masalah fisika terbuka, bahkan mungkin termasuk kuantisasi gravitasi,” kata Robbert Dijkgraaf , direktur Institute for Advanced Study (dan kolumnis reguler). untuk Kuantum ).

Baca Juga : Apakah Einstein salah Tentang Teori Ruang dan Waktu

Setiap ide lain yang telah digunakan dalam fisika selama berabad-abad terakhir memiliki tempat alami dalam matematika. Ini jelas tidak terjadi dengan teori medan kuantum.

Nathan Seiberg, Institut Studi Lanjut

Ini juga bukan jalan satu arah. Selama ribuan tahun, dunia fisik telah menjadi inspirasi terbesar matematika. Orang Yunani kuno menemukan trigonometri untuk mempelajari gerak bintang. Matematika mengubahnya menjadi disiplin dengan definisi dan aturan yang sekarang dipelajari siswa tanpa mengacu pada asal usul topik tersebut. Hampir 2.000 tahun kemudian, Isaac Newton ingin memahami hukum Kepler tentang gerak planet dan berusaha menemukan cara berpikir yang cermat tentang perubahan yang sangat kecil. Dorongan ini (bersama dengan wahyu dari Gottfried Leibniz) melahirkan bidang kalkulus, yang disesuaikan dan ditingkatkan matematika – dan hari ini hampir tidak ada tanpanya.

Sekarang matematikawan ingin melakukan hal yang sama untuk QFT, mengambil ide, objek, dan teknik yang telah dikembangkan oleh fisikawan untuk mempelajari partikel fundamental dan menggabungkannya ke dalam tubuh utama matematika. Ini berarti mendefinisikan ciri-ciri dasar QFT sehingga matematikawan masa depan tidak perlu memikirkan konteks fisik di mana teori itu pertama kali muncul.

Hadiahnya kemungkinan besar: Matematika tumbuh ketika menemukan objek baru untuk dijelajahi dan struktur baru yang menangkap beberapa hubungan paling penting — antara angka, persamaan, dan bentuk. QFT menawarkan keduanya.

“Fisika itu sendiri, sebagai sebuah struktur, sangat mendalam dan seringkali merupakan cara yang lebih baik untuk berpikir tentang hal-hal matematika yang sudah kita minati. Ini hanya cara yang lebih baik untuk mengaturnya,” kata David Ben-Zvi , ahli matematika di University of Texas, Austin.

Setidaknya selama 40 tahun, QFT telah menggoda matematikawan dengan ide-ide untuk dikejar. Dalam beberapa tahun terakhir, mereka akhirnya mulai memahami beberapa objek dasar di QFT itu sendiri — mengabstraksikannya dari dunia fisika partikel dan mengubahnya menjadi objek matematika dengan caranya sendiri.

Namun itu masih hari-hari awal dalam upaya.

“Kami tidak akan tahu sampai kami tiba di sana, tetapi tentu saja harapan saya bahwa kami hanya melihat puncak gunung es,” kata Greg Moore , seorang fisikawan di Rutgers University. “Jika ahli matematika benar-benar memahami [QFT], itu akan mengarah pada kemajuan besar dalam matematika.”

Medan Selamanya

Adalah umum untuk menganggap alam semesta dibangun dari partikel fundamental: elektron, quark, foton, dan sejenisnya. Tapi fisika sudah lama bergerak melampaui pandangan ini. Alih-alih partikel, fisikawan sekarang berbicara tentang hal-hal yang disebut “medan kuantum” sebagai lengkungan dan pakan nyata dari realitas.

Medan-medan ini membentang melintasi ruang-waktu alam semesta. Mereka datang dalam banyak varietas dan berfluktuasi seperti lautan yang bergulir. Saat medan beriak dan berinteraksi satu sama lain, partikel muncul darinya dan kemudian menghilang kembali ke dalamnya, seperti puncak gelombang yang cepat berlalu.

“Partikel bukanlah benda yang ada selamanya,” kata Tong. “Ini adalah tarian ladang.”

Untuk memahami medan kuantum, paling mudah untuk memulai dengan medan biasa, atau klasik. Bayangkan, misalnya, mengukur suhu di setiap titik di permukaan bumi. Menggabungkan banyak titik di mana Anda dapat melakukan pengukuran ini membentuk objek geometris, yang disebut bidang, yang mengemas semua informasi suhu ini.

Secara umum, bidang muncul setiap kali Anda memiliki beberapa kuantitas yang dapat diukur secara unik pada resolusi yang sangat baik di seluruh ruang. “Anda bisa mengajukan pertanyaan independen tentang setiap titik ruang-waktu, seperti, apa medan listrik di sini versus di sana,” kata Davide Gaiotto , fisikawan di Perimeter Institute for Theoretical Physics di Waterloo, Kanada.

Menurut thebigvantheory Medan kuantum muncul ketika Anda mengamati fenomena kuantum, seperti energi elektron, di setiap titik dalam ruang dan waktu. Tapi medan kuantum pada dasarnya berbeda dari yang klasik.

Sementara suhu pada suatu titik di Bumi adalah apa adanya, terlepas dari apakah Anda mengukurnya, elektron tidak memiliki posisi yang pasti sampai saat Anda mengamatinya. Sebelum itu, posisi mereka hanya dapat dijelaskan secara probabilistik, dengan menetapkan nilai ke setiap titik dalam medan kuantum yang menangkap kemungkinan Anda akan menemukan elektron di sana versus di tempat lain. Sebelum pengamatan, elektron pada dasarnya tidak ada di mana pun – dan di mana-mana.

“Kebanyakan hal dalam fisika bukan hanya objek; mereka adalah sesuatu yang hidup di setiap titik dalam ruang dan waktu,” kata Dijkgraaf.

Teori medan kuantum dilengkapi dengan seperangkat aturan yang disebut fungsi korelasi yang menjelaskan bagaimana pengukuran pada satu titik dalam suatu bidang berhubungan dengan — atau berkorelasi dengan — pengukuran yang dilakukan pada titik lain.

Setiap teori medan kuantum menjelaskan fisika dalam sejumlah dimensi tertentu. Teori medan kuantum dua dimensi sering berguna untuk menggambarkan perilaku bahan, seperti isolator; teori medan kuantum enam dimensi sangat relevan dengan teori string; dan teori medan kuantum empat dimensi menggambarkan fisika di alam semesta empat dimensi kita yang sebenarnya. Model Standar adalah salah satunya; itu adalah teori medan kuantum tunggal yang paling penting karena itu yang paling menggambarkan alam semesta.

Ada 12 partikel dasar yang diketahui membentuk alam semesta. Masing-masing memiliki medan kuantum yang unik. Untuk 12 medan partikel ini, Model Standar menambahkan empat medan gaya, yang mewakili empat gaya fundamental: gravitasi, elektromagnetisme, gaya nuklir kuat, dan gaya nuklir lemah. Ini menggabungkan 16 bidang ini dalam satu persamaan yang menggambarkan bagaimana mereka berinteraksi satu sama lain. Melalui interaksi ini, partikel fundamental dipahami sebagai fluktuasi medan kuantum masing-masing, dan dunia fisik muncul di depan mata kita.

Ini mungkin terdengar aneh, tetapi fisikawan menyadari pada tahun 1930-an bahwa fisika berdasarkan medan, bukan partikel, menyelesaikan beberapa ketidakkonsistenan mereka yang paling mendesak, mulai dari masalah kausalitas hingga fakta bahwa partikel tidak hidup selamanya. Itu juga menjelaskan apa yang sebaliknya tampak sebagai konsistensi yang mustahil di dunia fisik.

“Semua partikel dari jenis yang sama di mana-mana di alam semesta adalah sama,” kata Tong. “Jika kita pergi ke Large Hadron Collider dan membuat proton yang baru dicetak, itu persis sama dengan yang telah melakukan perjalanan selama 10 miliar tahun. Itu layak mendapat penjelasan.” QFT menyediakannya: Semua proton hanyalah fluktuasi dalam medan proton dasar yang sama (atau, jika Anda bisa melihat lebih dekat, medan quark yang mendasarinya).

Tetapi kekuatan penjelas QFT datang dengan biaya matematis yang tinggi.

“Teori medan kuantum sejauh ini merupakan objek paling rumit dalam matematika, sampai pada titik di mana matematikawan tidak tahu bagaimana memahaminya,” kata Tong. “Teori medan kuantum adalah matematika yang belum ditemukan oleh para matematikawan.”

Terlalu Banyak Tak Terbatas

Apa yang membuatnya begitu rumit bagi matematikawan? Dalam satu kata, tak terhingga.

Ketika Anda mengukur medan kuantum pada suatu titik, hasilnya tidak sedikit seperti koordinat dan suhu. Sebaliknya, ini adalah matriks, yang merupakan array angka. Dan bukan sembarang matriks — matriks besar, yang disebut operator, dengan banyak kolom dan baris tak terhingga. Ini mencerminkan bagaimana medan kuantum menyelubungi semua kemungkinan partikel yang muncul dari medan tersebut.

“Ada banyak posisi tak terhingga yang dapat dimiliki sebuah partikel, dan ini mengarah pada fakta bahwa matriks yang menggambarkan pengukuran posisi, momentum, juga harus berdimensi tak hingga,” kata Kasia Rejzner dari University of York.

Dan ketika teori menghasilkan ketidakterbatasan, itu mempertanyakan relevansi fisiknya, karena ketidakterbatasan ada sebagai sebuah konsep, bukan sebagai apa pun yang dapat diukur oleh eksperimen. Itu juga membuat teori sulit untuk dikerjakan secara matematis.

“Kami tidak suka memiliki kerangka kerja yang menjelaskan ketidakterbatasan. Itulah mengapa Anda mulai menyadari bahwa Anda membutuhkan pemahaman matematis yang lebih baik tentang apa yang sedang terjadi,” kata Alejandra Castro , fisikawan di University of Amsterdam.

Masalah dengan ketidakterbatasan menjadi lebih buruk ketika fisikawan mulai berpikir tentang bagaimana dua medan kuantum berinteraksi, seperti yang mungkin terjadi, misalnya, ketika tabrakan partikel dimodelkan di Large Hadron Collider di luar Jenewa. Dalam mekanika klasik, jenis perhitungan ini mudah: Untuk memodelkan apa yang terjadi ketika dua bola bilyar bertabrakan, cukup gunakan angka yang menentukan momentum masing-masing bola pada titik tumbukan.

Ketika dua medan kuantum berinteraksi, Anda ingin melakukan hal serupa: kalikan operator berdimensi tak hingga untuk satu bidang dengan operator berdimensi tak hingga untuk yang lain tepat pada titik dalam ruang-waktu di mana keduanya bertemu. Tetapi perhitungan ini — mengalikan dua objek berdimensi tak hingga yang jaraknya tak terhingga — sulit.

“Di sinilah segalanya menjadi sangat salah,” kata Rejzner.

Sukses Menghancurkan

Fisikawan dan matematikawan tidak dapat menghitung menggunakan ketidakterbatasan, tetapi mereka telah mengembangkan solusi — cara-cara untuk memperkirakan jumlah yang menghindari masalah. Solusi ini menghasilkan perkiraan perkiraan, yang cukup baik, karena eksperimen juga tidak tepat.

“Kita dapat melakukan eksperimen dan mengukur sesuatu hingga 13 tempat desimal dan mereka menyetujui semua 13 tempat desimal. Ini adalah hal yang paling menakjubkan dalam semua ilmu pengetahuan,” kata Tong.

Satu solusi dimulai dengan membayangkan bahwa Anda memiliki medan kuantum di mana tidak ada yang terjadi. Dalam pengaturan ini — disebut teori “bebas” karena bebas dari interaksi — Anda tidak perlu khawatir tentang mengalikan matriks dimensi tak terbatas karena tidak ada yang bergerak dan tidak ada yang bertabrakan. Ini adalah situasi yang mudah untuk dijelaskan secara matematis lengkap, meskipun deskripsi itu tidak terlalu berarti.

“Ini benar-benar membosankan, karena Anda telah menggambarkan bidang yang sepi tanpa interaksi apa pun, jadi ini sedikit latihan akademis,” kata Rejzner.

Tapi Anda bisa membuatnya lebih menarik. Fisikawan meningkatkan interaksi, mencoba mempertahankan kontrol matematis gambar saat mereka membuat interaksi lebih kuat.

Pendekatan ini disebut QFT perturbative, dalam arti bahwa Anda mengizinkan perubahan kecil, atau gangguan, di bidang bebas. Anda dapat menerapkan perspektif perturbatif ke teori medan kuantum yang mirip dengan teori bebas. Ini juga sangat berguna untuk memverifikasi eksperimen. “Anda mendapatkan akurasi yang luar biasa, kesepakatan eksperimental yang luar biasa,” kata Rejzner.

Tetapi jika Anda terus membuat interaksi menjadi lebih kuat, pendekatan yang mengganggu pada akhirnya akan menjadi terlalu panas. Alih-alih menghasilkan perhitungan yang semakin akurat yang mendekati alam semesta fisik nyata, itu menjadi semakin tidak akurat. Hal ini menunjukkan bahwa meskipun metode gangguan adalah panduan yang berguna untuk eksperimen, pada akhirnya ini bukanlah cara yang tepat untuk mencoba dan mendeskripsikan alam semesta: Ini secara praktis berguna, tetapi secara teoritis goyah.

“Kami tidak tahu bagaimana menambahkan semuanya dan mendapatkan sesuatu yang masuk akal,” kata Gaiotto.

Kami telah menggunakan QFT sebagai stimulus dari luar, tetapi akan lebih baik jika itu adalah stimulus dari dalam.

Dan Freed, Universitas Texas, Austin

Skema pendekatan lain mencoba menyelinap pada teori medan kuantum lengkap dengan cara lain. Secara teori, medan kuantum berisi informasi yang sangat halus. Untuk memasak bidang ini, fisikawan mulai dengan kisi, atau kisi, dan membatasi pengukuran ke tempat di mana garis kisi saling bersilangan. Jadi, alih-alih dapat mengukur medan kuantum di mana-mana, pada awalnya Anda hanya dapat mengukurnya di tempat-tempat tertentu dengan jarak yang tetap.

Dari sana, fisikawan meningkatkan resolusi kisi, menarik benang lebih dekat untuk menciptakan tenunan yang lebih halus. Saat diperketat, jumlah titik di mana Anda dapat melakukan pengukuran meningkat, mendekati gagasan ideal tentang bidang di mana Anda dapat melakukan pengukuran di mana-mana.

“Jarak antar titik menjadi sangat kecil, dan hal seperti itu menjadi medan kontinu,” kata Seiberg. Dalam istilah matematika, mereka mengatakan medan kuantum kontinum adalah batas kisi pengencang.

Matematikawan terbiasa bekerja dengan batasan dan tahu bagaimana menetapkan bahwa batasan tertentu benar-benar ada. Misalnya, mereka telah membuktikan bahwa batas barisan tak hingga12 + 14 +18 +116… adalah 1. Fisikawan ingin membuktikan bahwa medan kuantum adalah limit dari prosedur kisi ini. Mereka hanya tidak tahu caranya.

Baca Juga : Pemanfaatan Sejarah Matematika di Sekolah Yang Harus Anda Ketahui

“Tidak begitu jelas bagaimana mengambil batas itu dan apa artinya secara matematis,” kata Moore.

Fisikawan tidak meragukan bahwa kisi-kisi yang mengencang bergerak menuju gagasan ideal tentang medan kuantum. Kecocokan yang dekat antara prediksi QFT dan hasil eksperimen sangat menunjukkan bahwa itulah masalahnya.

“Tidak diragukan lagi bahwa semua batasan ini benar-benar ada, karena keberhasilan teori medan kuantum benar-benar menakjubkan,” kata Seiberg. Tetapi memiliki bukti kuat bahwa sesuatu itu benar dan membuktikan secara meyakinkan bahwa itu adalah dua hal yang berbeda.

Ini adalah tingkat ketidaktepatan yang tidak sejalan dengan teori fisika hebat lainnya yang ingin digantikan oleh QFT. Hukum gerak Isaac Newton, mekanika kuantum, teori relativitas khusus dan umum Albert Einstein — semuanya hanyalah bagian dari cerita besar yang ingin diceritakan QFT, tetapi tidak seperti QFT, semuanya dapat ditulis dalam istilah matematika yang tepat.

“Teori medan kuantum muncul sebagai bahasa fenomena fisik yang hampir universal, tetapi dalam bentuk matematika yang buruk,” kata Dijkgraaf. Dan untuk beberapa fisikawan, itu adalah alasan untuk berhenti.

“Jika full house bertumpu pada konsep inti yang tidak dipahami secara matematis, mengapa Anda begitu yakin ini menggambarkan dunia? Itu mempertajam seluruh masalah,” kata Dijkgraaf.