Pencarian Berkembang untuk Grand Unified Theory of Mathematics

Pencarian Berkembang untuk Grand Unified Theory of Mathematics

Pencarian Berkembang untuk Grand Unified Theory of Mathematics – Lebih dari 50 tahun setelah benih dari kumpulan besar ide matematika yang disebut program Langlands mulai bertunas, temuan baru yang mengejutkan muncul.

Dalam matematika, ada jaringan dugaan, teorema, dan ide yang luas dan terus berkembang yang disebut program Langlands. Program itu menghubungkan subbidang yang tampaknya tidak terhubung. Ini adalah kekuatan sedemikian rupa sehingga beberapa ahli matematika mengatakannya—atau beberapa aspeknya—termasuk dalam jajaran yang terhormat dari Masalah Hadiah Milenium , daftar pertanyaan terbuka teratas dalam matematika. Edward Frenkel, seorang ahli matematika di University of California, Berkeley, bahkan menjuluki program Langlands sebagai “Teori Matematika Terpadu Besar”.

thebigvantheory – Program ini dinamai Robert Langlands, seorang ahli matematika di Institut Studi Lanjutan di Princeton, NJ Empat tahun lalu, ia dianugerahi Penghargaan Abel, salah satu penghargaan paling bergengsi dalam matematika, untuk programnya, yang digambarkan sebagai “pemimpin visioner”. .”

Langlands sudah pensiun, tetapi dalam beberapa tahun terakhir proyek ini telah berkembang menjadi “hampir bidang matematikanya sendiri, dengan banyak bagian yang berbeda,” yang disatukan oleh “sumber inspirasi yang sama,” kata Steven Rayan, ahli matematika dan fisikawan matematika di Universitas dari Saskatchewan. Ini memiliki “banyak avatar, beberapa di antaranya masih terbuka, beberapa di antaranya telah diselesaikan dengan cara yang indah.”

Semakin banyak matematikawan yang menemukan hubungan antara program asli—dan cabangnya, Langlands geometris—dan bidang sains lainnya. Para peneliti telah menemukan hubungan yang kuat dengan fisika, dan Rayan serta ilmuwan lain terus mengeksplorasi yang baru. Dia memiliki firasat bahwa, seiring waktu, hubungan akan ditemukan antara program-program ini dan area lain juga. “Saya pikir kita hanya di puncak gunung es di sana,” katanya. “Saya pikir beberapa karya paling menarik yang akan muncul dalam beberapa dekade mendatang adalah melihat konsekuensi dan manifestasi Langlands dalam bagian sains di mana interaksi dengan matematika murni semacam ini mungkin masih kecil sampai sekarang.” Secara keseluruhan Langlands tetap misterius, Rayan menambahkan, dan untuk mengetahui ke mana arahnya, dia ingin “melihat pemahaman yang muncul tentang dari mana sebenarnya program-program ini berasal.”

WEB YANG MEMBINGUNGKAN

Program Langlands selalu menjadi tarian yang menggiurkan dengan hal-hal yang tidak terduga, menurut James Arthur, ahli matematika di University of Toronto. Langlands adalah penasihat Arthur di Universitas Yale, tempat Arthur memperoleh gelar Ph.D. pada tahun 1970. (Langlands menolak untuk diwawancarai untuk cerita ini.)

“Saya pada dasarnya adalah murid pertamanya, dan saya sangat beruntung telah bertemu dengannya saat itu,” kata Arthur. “Dia tidak seperti ahli matematika mana pun yang pernah saya temui. Setiap pertanyaan yang saya miliki, terutama tentang sisi matematika yang lebih luas, dia akan menjawab dengan jelas, seringkali dengan cara yang lebih menginspirasi daripada apa pun yang dapat saya bayangkan.”

Selama waktu itu, Langlands meletakkan dasar untuk apa yang akhirnya menjadi program senamanya. Pada tahun 1969, Langlands dengan terkenal menulis surat setebal 17 halaman kepada ahli matematika Prancis André Weil. Dalam surat itu, Langlands berbagi ide-ide baru yang kemudian dikenal sebagai “dugaan Langlands.”

Pada tahun 1969 Langlands menyampaikan kuliah konferensi di mana ia berbagi tujuh dugaan yang akhirnya berkembang menjadi program Langlands, catatan Arthur. Suatu hari Arthur meminta penasihatnya untuk salinan kertas pracetak berdasarkan kuliah tersebut.

“Dia rela memberi saya satu, tidak diragukan lagi mengetahui bahwa itu di luar jangkauan saya,” kata Arthur. “Tapi itu juga melampaui orang lain selama bertahun-tahun. Namun, saya dapat mengatakan bahwa itu didasarkan pada beberapa ide yang benar-benar luar biasa, bahkan jika hampir semua yang ada di dalamnya tidak saya kenal.”

Baca Juga : Beberapa Fakta Terbukti Secara Mengejutkan Dalam Ilmu Sains

DUGAAN DI INTI SEMUANYA

Dua dugaan merupakan inti dari program Langlands. “Hampir segala sesuatu dalam program Langlands datang dengan satu atau lain cara dari itu,” kata Arthur.

Dugaan timbal balik terhubung dengan karya Alexander Grothendieck, yang terkenal dengan penelitiannya dalam geometri aljabar, termasuk prediksinya tentang “motif”. “Saya pikir Grothendieck memilih kata [motif] karena dia melihatnya sebagai analog matematis dari motif yang Anda miliki dalam seni, musik atau sastra: ide-ide tersembunyi yang tidak secara eksplisit dibuat jelas dalam seni, tetapi hal-hal yang ada di baliknya yang entah bagaimana mengatur bagaimana semuanya cocok bersama, ”kata Arthur.

Dugaan timbal balik mengandaikan motif ini berasal dari jenis objek matematis analitik yang berbeda yang ditemukan oleh Langlands yang disebut representasi automorfik, catat Arthur. “‘Representasi automorfik’ hanyalah kata kunci untuk objek yang memenuhi analog persamaan Schrödinger” dari fisika kuantum, tambahnya. Persamaan Schrödinger memprediksi kemungkinan menemukan partikel dalam keadaan tertentu.

Dugaan penting kedua adalah dugaan functoriality, juga disebut functoriality. Ini melibatkan klasifikasi bidang nomor. Bayangkan memulai dengan persamaan satu variabel yang koefisiennya adalah bilangan bulat—seperti x 2 + 2x + 3 = 0—dan mencari akar dari persamaan tersebut. Dugaan memprediksi bahwa bidang yang sesuai akan menjadi “bidang terkecil yang Anda dapatkan dengan mengambil jumlah, produk, dan kelipatan bilangan rasional dari akar-akar ini,” kata Arthur.

MENJELAJAHI “DUNIA” MATEMATIKA YANG BERBEDA

Dengan program aslinya, Langlands “menemukan dunia yang benar-benar baru,” kata Arthur.

Cabangnya, Langlands geometris, memperluas wilayah yang dicakup matematika ini. Rayan menjelaskan perspektif berbeda yang diberikan oleh program asli dan geometris. “Langlands Biasa adalah paket ide, korespondensi, dualitas, dan pengamatan tentang dunia pada suatu titik,” katanya. “Duniamu akan dijelaskan oleh beberapa urutan angka yang relevan. Anda dapat mengukur suhu di mana Anda berada; Anda bisa mengukur kekuatan gravitasi pada saat itu,” tambahnya.

Namun, dengan program geometris, lingkungan Anda menjadi lebih kompleks, dengan geometrinya sendiri. Anda bebas bergerak, mengumpulkan data di setiap titik yang Anda kunjungi. “Anda mungkin tidak begitu peduli dengan angka individu tetapi lebih pada bagaimana mereka bervariasi saat Anda bergerak di dunia Anda,” kata Rayan. Data yang Anda kumpulkan “akan dipengaruhi oleh geometri,” katanya. Oleh karena itu, program geometris “pada dasarnya menggantikan bilangan dengan fungsi”.

Teori bilangan dan teori representasi dihubungkan oleh program geometrik Langlands. “Secara garis besar, teori representasi adalah studi tentang simetri dalam matematika,” kata Chris Elliott, ahli matematika di University of Massachusetts Amherst.

Menggunakan alat dan ide geometris, teori representasi geometris memperluas pemahaman matematikawan tentang gagasan abstrak yang terhubung dengan simetri, catat Elliot. Area teori representasi itu adalah tempat program geometris Langlands “hidup”, katanya.

PERSIMPANGAN DENGAN FISIKA

Program geometris telah dikaitkan dengan fisika, menandakan kemungkinan koneksi ke bidang ilmiah lainnya.

Pada tahun 2018, Kazuki Ikeda, seorang peneliti postdoctoral di kelompok Rayan, menerbitkan sebuah studi Journal of Mathematical Physics yang menurutnya terhubung dengan dualitas elektromagnetik yang merupakan “konsep yang sudah lama dikenal dalam fisika” dan yang terlihat dalam kode koreksi kesalahan dalam kuantum. komputer, misalnya. Ikeda mengatakan hasilnya “adalah yang pertama di dunia yang menunjukkan bahwa program Langlands adalah konsep yang sangat penting dan kuat yang dapat diterapkan tidak hanya pada matematika tetapi juga pada fisika benda terkondensasi”—studi zat dalam keadaan padatnya — “dan komputasi kuantum.”

Hubungan antara fisika materi terkondensasi dan program geometris baru-baru ini menguat, menurut Rayan. “Pada tahun lalu, panggung telah ditetapkan dengan berbagai jenis investigasi,” katanya, termasuk karyanya sendiri yang melibatkan penggunaan geometri aljabar dan teori bilangan dalam konteks materi kuantum.

Pekerjaan lain membangun hubungan antara program geometris dan fisika energi tinggi. Pada tahun 2007 Anton Kapustin, fisikawan teoretis di California Institute of Technology, dan Edward Witten, fisikawan matematika dan teoretis di Institute for Advanced Study, menerbitkan apa yang disebut Rayan sebagai “kertas penting yang indah” yang “membuka jalan bagi kehidupan yang aktif. untuk Langlands geometris dalam fisika energi tinggi teoretis.” Dalam makalah tersebut, Kapustin dan Witten menulis bahwa mereka bertujuan untuk “menunjukkan bagaimana program ini dapat dipahami sebagai sebuah bab dalam teori medan kuantum .”

Elliott mencatat bahwa melihat teori medan kuantum dari perspektif matematika dapat membantu mengumpulkan informasi baru tentang struktur yang mendasarinya. Misalnya, Langlands dapat membantu fisikawan menyusun teori untuk dunia dengan jumlah dimensi yang berbeda dari dunia kita.

Selain program geometris, program asli Langlands juga dianggap sebagai dasar fisika, kata Arthur. Tetapi menjelajahi hubungan itu “mungkin memerlukan penemuan teori menyeluruh yang menghubungkan program asli dan geometris terlebih dahulu,” katanya.

Jangkauan program ini mungkin tidak berhenti pada matematika dan fisika. “Saya percaya, tanpa ragu, bahwa [mereka] memiliki interpretasi lintas sains,” kata Rayan. “Bagian materi yang dipadatkan dari cerita akan mengarah secara alami ke chemistry.” Lebih jauh, ia menambahkan, “matematika murni selalu masuk ke setiap bidang sains lainnya. Itu hanya masalah waktu saja.”