Teori Homologi Dalam Matematika

Teori Homologi Dalam Matematika, homologi adalah cara umum untuk mengasosiasikan urutan objek aljabar, seperti grup atau modul abelian, dengan objek matematika lainnya seperti ruang topologi. Kelompok homologi awalnya didefinisikan dalam topologi aljabar. Konstruksi serupa tersedia dalam berbagai konteks lain, seperti aljabar abstrak, grup, aljabar Lie, teori Galois, dan geometri aljabar.

Motivasi awal untuk mendefinisikan kelompok homologi adalah pengamatan bahwa dua bentuk dapat dibedakan dengan memeriksa lubangnya. Misalnya, lingkaran bukan piringan karena lingkaran memiliki lubang di dalamnya sedangkan piringan padat, dan bola biasa bukan lingkaran karena bola menutupi lubang dua dimensi sedangkan lingkaran menutupi lubang satu dimensi. Namun, karena sebuah lubang itu “tidak ada”, tidak langsung jelas bagaimana mendefinisikan sebuah lubang atau bagaimana membedakan berbagai jenis lubang.

Homologi pada awalnya merupakan metode matematika yang ketat untuk mendefinisikan dan mengkategorikan lubang dalam manifold. Secara longgar, siklus adalah submanifold tertutup, batas adalah siklus yang juga merupakan batas submanifold, dankelas homologi adalah kelas ekivalensi dari batas-batas modulo siklus. Kelas homologi dengan demikian diwakili oleh sebuah siklus yang bukan merupakan batas dari setiap submanifold: siklus tersebut mewakili sebuah lubang, yaitu sebuah manifold hipotetis yang batasnya adalah siklus itu, tetapi yang “tidak ada”.

Ada banyak teori homologi yang berbeda. Jenis objek matematika tertentu, seperti ruang topologi atau grup, mungkin memiliki satu atau lebih teori homologi yang terkait. Ketika objek yang mendasari memiliki interpretasi geometris seperti ruang topologi, kelompok homologi ke- n mewakili perilaku dalam dimensi n. Sebagian besar kelompok homology atau modul dapat dirumuskan sebagai functors berasal dari tepat kategori abelian, mengukur kegagalan functor untuk menjadi tepat. Dari perspektif abstrak ini, kelompok homologi ditentukan oleh objek dari kategori turunan.

Latar Belakang

Asal 

Teori homologi dapat dikatakan berawal dari rumus polihedron Euler, atau karakteristik Euler. Ini diikuti oleh definisi Riemann tentang genus dan invarian numerik keterhubungan n- lipat pada tahun 1857 dan bukti Betti pada tahun 1871 tentang independensi “bilangan homologi” dari pilihan basis.

Homologi itu sendiri dikembangkan sebagai cara untuk menganalisis dan mengklasifikasikan manifold menurut siklusnya – loop tertutup (atau lebih umum lagi, submanifold) yang dapat digambar pada n dimensi manifold tertentu tetapi tidak terus menerus berubah bentuk satu sama lain. Siklus ini juga kadang-kadang dianggap sebagai potongan yang dapat direkatkan kembali, atau sebagai ritsleting yang dapat diikat dan dilepas. Siklus diklasifikasikan berdasarkan dimensi. Misalnya, garis yang ditarik pada permukaan mewakili 1-siklus, loop tertutup atau{\displaystyle S^{1}}S^{1} (1-manifold), sedangkan permukaan yang dipotong melalui manifold tiga dimensi adalah 2-siklus.

Baca Juga : Teori Relativitas Einstein Tentang Kosmos

Permukaan

Pada biasa lingkup {\displaystyle S^{2}}S^{2}, siklus b pada diagram dapat diperkecil hingga ke kutub, dan bahkan lingkaran besar ekuator a dapat diperkecil dengan cara yang sama. The Jordan Teorema melengkung menunjukkan bahwa setiap siklus sewenang-wenang seperti c dapat sama menyusut ke titik. Oleh karena itu, semua siklus pada bola dapat terus-menerus diubah menjadi satu sama lain dan termasuk dalam kelas homologi yang sama. Mereka dikatakan homolog dengan nol. Pemotongan manifold sepanjang siklus homolog ke nol memisahkan manifold menjadi dua atau lebih komponen. Misalnya, memotong bola sepanjang a menghasilkan dua belahan.

Ini umumnya tidak berlaku untuk siklus pada permukaan lain. The torus {\displaystyle T^{2}}T^{2}memiliki siklus yang tidak dapat terus menerus berubah bentuk satu sama lain, misalnya dalam diagram tidak ada siklus a , b atau c yang dapat dideformasi menjadi satu sama lain. Secara khusus, siklus a dan b tidak dapat diperkecil ke suatu titik sedangkan siklus c dapat, sehingga membuatnya homolog dengan nol.

Jika permukaan torus dipotong sepanjang a dan b , itu dapat dibuka dan diratakan menjadi persegi panjang atau, lebih nyaman, persegi. Sepasang sisi yang berhadapan mewakili potongan sepanjang a , dan pasangan sisi yang berlawanan mewakili potongan sepanjang b .

Tepi persegi kemudian dapat direkatkan kembali dengan cara yang berbeda. Persegi dapat dipelintir untuk memungkinkan ujung-ujungnya bertemu dalam arah yang berlawanan, seperti yang ditunjukkan oleh panah pada diagram. Hingga simetri, ada empat cara berbeda untuk merekatkan sisi-sisinya, masing-masing menciptakan permukaan yang berbeda:

K^{2}adalah botol Klein, yang merupakan torus dengan lilitan di dalamnya (Pintiran dapat dilihat pada diagram persegi sebagai kebalikan dari panah bawah). Ini adalah teorema bahwa permukaan yang direkatkan kembali harus berpotongan sendiri (ketika direndam dalam ruang Euclidean 3- ). Seperti torus, siklus a dan b tidak bisa dikecilkan sedangkan c bisa. Tetapi tidak seperti torus, mengikuti b ke depan berputar ke kanan dan ke belakang mundur ke kiri dan ke kanan, karena b kebetulan melewati lilitan yang diberikan pada satu join. Jika pemotongan dengan jarak yang sama di satu sisi b dibuat, ia kembali di sisi lain dan mengitari permukaan untuk kedua kalinya sebelum kembali ke titik awalnya, memotong bengkokPita Mobius. Karena kiri dan kanan lokal dapat diorientasikan ulang secara sewenang-wenang dengan cara ini, permukaan secara keseluruhan dikatakan tidak dapat diorientasikan.

Pesawat proyektif {\displaystyle P^{2}}P^{2}memiliki kedua bergabung memutar. Bentuk yang tidak dipotong, umumnya direpresentasikan sebagai permukaan Boy, secara visual kompleks, sehingga embedding hemispherical ditunjukkan dalam diagram, di mana titik antipodal di sekitar rim seperti A dan A′ diidentifikasi sebagai titik yang sama. Sekali lagi, a dan b tidak dapat disusutkan sementara c adalah. Tapi kali ini, baik a dan b mundur ke kiri dan ke kanan.

Baca Juga : Fenomenologi, Logika, dan Filsafat Matematika

Siklus dapat digabungkan atau ditambahkan bersama-sama, seperti a dan b pada torus ketika dipotong dan diratakan. Dalam diagram botol Klein, a berputar satu arah dan a berputar berlawanan arah. Jika a dianggap sebagai potongan, maka a dapat dianggap sebagai operasi perekatan. Pemotongan dan pengeleman ulang tidak mengubah permukaan, sehingga a + (− a ) = 0.

Tapi sekarang pertimbangkan dua a -siklus. Karena botol Klein tidak dapat diorientasikan, Anda dapat memindahkan salah satunya ke seluruh botol (sepanjang siklus b ), dan botol tersebut akan kembali sebagai a. Hal ini karena botol Klein terbuat dari silinder, yang merupakan ujung -siklus yang direkatkan dengan orientasi yang berlawanan. Oleh karena itu 2 a = a + a = a + (− a ) = 0. Fenomena ini disebut torsi. Demikian pula, dalam bidang proyektif, mengikuti putaran b yang tidak dapat disusutkan dua kali secara luar biasa menciptakan siklus yang tidak dapat disusutkan ke suatu titik; itu adalah,b + b = 0. Karena b harus diikuti dua kali untuk mencapai siklus nol, permukaan dikatakan memiliki koefisien torsi 2. Namun, mengikuti b -siklus sekitar dua kali dalam botol Klein memberikan b + b = 2 b, karena siklus ini hidup dalam kelas homologi bebas torsi. Ini sesuai dengan fakta bahwa dalam poligon dasar botol Klein, hanya satu pasang sisi yang direkatkan dengan lilitan, sedangkan pada bidang proyeksi kedua sisi dipelintir.

Persegi adalah ruang topologi yang dapat dikontrak, yang menyiratkan bahwa ia memiliki homologi sepele. Akibatnya, pemotongan tambahan memutuskannya. Persegi bukanlah satu-satunya bentuk pada bidang yang dapat direkatkan ke permukaan. Menempelkan sisi berlawanan dari segi delapan, misalnya, menghasilkan permukaan dengan dua lubang. Faktanya, semua permukaan tertutup dapat dibuat dengan menempelkan sisi dari beberapa poligon dan semua poligon bersisi genap (2 n -gon) dapat direkatkan untuk membuat manifold yang berbeda. Sebaliknya, permukaan tertutup dengan n kelas bukan nol dapat dipotong menjadi 2 n -gon. Variasi juga dimungkinkan, misalnya segi enam juga dapat direkatkan untuk membentuk torus.

Teori homologi pertama yang dapat dikenali diterbitkan oleh Henri Poincaré dalam makalahnya yang berjudul ” Analisis situs “, J. Ecole polytech. (2) 1. 1-121 (1895). Makalah ini memperkenalkan kelas dan hubungan homologi. Konfigurasi yang mungkin dari siklus yang dapat diorientasikan diklasifikasikan oleh nomor Betti dari manifold (nomor Betti adalah penyempurnaan dari karakteristik Euler). Mengklasifikasikan siklus yang tidak dapat diorientasikan memerlukan informasi tambahan tentang koefisien torsi.